胶片理论Vol.3 感光测定学(I)：特性曲线与反差控制模型

引言

在《暗房理论 Vol.5》中，我们初步接触了反差控制。本章将从感光测定学 (Sensitometry) 的专业角度，深入剖析胶片的“指纹”——特性曲线（H&D 曲线），并建立反差控制的数学模型。

感光测定学是胶片摄影的定量基础，它由 Hurter 和 Driffield 于 19 世纪末创立，旨在回答一个问题：给胶片多少光，它能产生多黑的银？

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特性曲线的数学描述

特性曲线描述了对数曝光量 ($\log H$) 与 光学密度 ($D$) 之间的关系。

坐标系定义

• 横轴：$\log_{10} H$（单位：lux·s）。摄影中，$\Delta \log H = 0.3$ 对应 1 档光圈（Stop）。
• 纵轴：$D = \log_{10} (1/T)$，其中 $T$ 是透射率。

曲线分区模型

一条典型的负片特性曲线可以分为四个区域，我们可以用分段函数来近似：

1. 基底灰雾区 (Base + Fog)：

   $$D = D_{min} \quad (\text{for } \log H < \text{Threshold})$$

   这是胶片未曝光时的固有密度，由片基密度和化学灰雾组成。

2. 趾部 (Toe)： 非线性上升区。这是阴影细节的记录区。其形状决定了胶片对暗部的分离能力。 数学上常近似为指数函数或多项式。

3. 直线部 (Straight Line)： 线性响应区。

   $$D = \gamma (\log H - \log H_0) + D_0$$

   其中斜率 $\gamma$ (Gamma) 代表胶片的反差。这是胶片工作的核心区域，对应中灰和纹理区域。

4. 肩部 (Shoulder)： 响应饱和区。密度增长放缓，最终达到 $D_{max}$。肩部的形状决定了高光过度的平滑程度（Highlight Roll-off）。

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反差参数详解

1. Gamma ($\gamma$)

直线部的斜率。

• $\gamma = \tan \alpha = \frac{\Delta D}{\Delta \log H}$
• 意义：$\gamma > 1$ 夸大反差；$\gamma < 1$ 压缩反差。
• 局限：现代胶片（尤其是 T-Grain 胶片）往往没有明显的直线部，或者呈“S”形，此时 $\gamma$ 值难以准确定义。

2. 平均梯度 ($\bar{G}$ / Average Gradient)

连接曲线上两点（通常是阴影点 $D_{min}+0.1$ 和高光点 $D_{min}+1.3$）的直线斜率。

$$\bar{G} = \frac{D_2 - D_1}{\log H_2 - \log H_1}$$

这是更实用的指标，涵盖了趾部和直线部。

3. 反差指数 (Contrast Index, CI)

Kodak 提出的改进指标。它通过一个特定的几何作图法（同心圆法）来确定测量点，更能反映底片在放大机上的实际打印反差。通常 CI 目标值为 0.56 - 0.62（对应聚光式放大机）。

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显影时间与反差的关系模型

反差不是固定的，它随显影时间 $t$ 变化。我们可以建立经验模型：

$$\gamma(t) = \gamma_{\infty} (1 - e^{-k(t - t_0)})$$

• $\gamma_{\infty}$：该胶片-显影液组合能达到的最大反差。
• $k$：显影速率常数。
• $t_0$：诱导期（Induction Period），显影开始前的延迟。

区域曝光法的数学本质

区域曝光法（Zone System）中的 N, N+1, N-1 显影，本质上就是在调整 $t$ 以改变 $\gamma$。

• N (Normal)：$\gamma \approx 0.7$。
• N+1 (Expansion)：提高 $\gamma$，使 $\Delta D$ 在较窄的 $\Delta \log H$ 范围内拉开。
• N-1 (Contraction)：降低 $\gamma$，将宽广的场景亮度范围压缩进底片的密度范围。

通过测定不同时间下的特性曲线，我们可以绘制 时间-伽马曲线 (Time-Gamma Curve)，这是暗房工作者最重要的控制图表。

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总结

特性曲线是胶片的灵魂。它不仅告诉我们感光度（ISO），还揭示了胶片的影调映射逻辑。掌握了特性曲线，我们就掌握了从场景亮度到底片密度的转换钥匙。

然而，特性曲线通常是在白光下测定的。如果光源颜色改变，或者加了滤镜，胶片的响应会如何？下一章，我们将探讨光谱响应与滤镜因子。