引言
在 Vol.2 中，我们推导了 HCW 方程，它假设目标器运行在圆轨道上。然而，在实际任务中，完全的圆轨道是不存在的。当目标轨道的偏心率 $e$ 较大（例如 $e > 0.1$）时，HCW 方程的误差将不可忽略。
对于椭圆轨道上的交会对接（例如天舟货运飞船与空间站的快速交会，或者登月任务中的月球轨道交会），我们需要更精确的模型。本章将介绍描述椭圆轨道相对运动的 Tschauner-Hempel (T-H) 方程。
为什么 HCW 会失效？
HCW 方程的核心假设是角速度 $n$ 为常数。但在椭圆轨道中，根据开普勒第二定律，角速度 $\dot{\nu}$ 随真近点角 $\nu$ 变化：
近地点快，远地点慢。这种周期性的角速度变化会导致相对运动产生额外的“脉动”。如果强行使用 HCW 方程，会导致导航解算发散，或者消耗大量燃料去抵消模型误差。
T-H 方程的推导思路
Tschauner 和 Hempel 在 1965 年提出了解决这一问题的方法。他们的核心技巧是：将自变量从时间 $t$ 变换为真近点角 $\nu$。
在 LVLH 坐标系下，经过变换和无量纲化（以轨道半径 $r(\nu)$ 为长度单位），可以得到 T-H 方程：
其中：
- $(\cdot)’$ 表示对真近点角 $\nu$ 的导数 $d/d\nu$。
- $\tilde{x} = x/r, \tilde{y} = y/r, \tilde{z} = z/r$ 是无量纲化的相对位置。
T-H 方程的特性
1. 形式上的相似性
对比 HCW 方程，T-H 方程在形式上非常相似，只是刚度项（Stiffness term）变成了 $\nu$ 的函数：$\frac{3}{1+e\cos\nu}$。当 $e=0$ 时，该项变为 3，T-H 方程退化为 HCW 方程。
2. 解析解的存在性
尽管系数是时变的（周期的），T-H 方程仍然存在解析解。Yamanaka 和 Ankersen (2002) 给出了目前工程上最常用的状态转移矩阵 (STM) 形式，被称为 Y-A 状态转移矩阵。 利用 Y-A 矩阵，我们可以像使用 HCW 一样，快速计算任意时刻的相对状态，或者求解两点边值问题。
工程应用：椭圆轨道交会
在椭圆轨道交会中，经典的 V-bar 和 R-bar 概念需要修正。
- 径向振荡：由于轨道半径 $r$ 在变化，即使保持 $\tilde{x}=0$（相对距离与 $r$ 成比例），实际物理距离 $x$ 也会随 $\nu$ 变化。
- 控制策略：在设计导引律时，通常在真近点角域内规划轨迹，然后将其映射回时间域执行。
总结
T-H 方程是 HCW 方程在椭圆轨道上的推广。它通过引入真近点角作为自变量，巧妙地解决了时变系数问题。对于高偏心率轨道（如 GTO 转移轨道上的卫星服务）或高精度要求的交会任务，T-H 方程是必不可少的工具。
解决了动力学模型问题后，我们接下来将关注如何控制航天器从远方接近目标。下一章，我们将讨论远距离导引中的核心策略——相位调整。