引言
在 Vol.2 中，我们推导了 HCW 方程，揭示了相对运动的动力学特性。本章将利用 HCW 方程的解析解，探讨几种经典的近距离接近策略：V-bar 接近、R-bar 接近以及足球轨道 (Football Orbit)。
这些策略不仅是数学上的解，更是工程实践中为了保证安全性（Safety）和可观测性（Observability）而精心设计的。
HCW 方程的解析解
对于无控运动（$f=0$），HCW 方程的通解为：
这个解看起来很复杂，但我们可以通过选择特殊的初始条件 $(x_0, y_0, \dot{x}_0, \dot{y}_0)$ 来设计出特殊的轨迹。
V-bar 接近 (V-bar Approach)
V-bar 指的是 LVLH 坐标系的 $y$ 轴（速度矢量方向）。 V-bar 接近是指追踪器沿目标器的速度方向（通常是从后方）直线接近。
动力学条件
要在 $x$ 轴方向保持静止（$x(t) \equiv 0$），必须满足：
代入通解，得到：
这说明：在圆轨道上，只要追踪器和目标器在同一轨道上（$x=0$）且切向速度相同，它们就能保持相对静止。
实施策略
追踪器在 V-bar 轴上施加微小的推力，使其获得一个向前的漂移速度。
- 优点：直观，易于控制。
- 缺点：安全性差。如果制动发动机故障，追踪器会直接撞向目标器（因为在同一轨道上）。此外，尾焰可能会污染目标器的光学敏感器。
R-bar 接近 (R-bar Approach)
R-bar 指的是 LVLH 坐标系的 $x$ 轴（径向，地心方向）。 R-bar 接近是指追踪器从目标器的正下方（或正上方），沿径向向上（或向下）接近。
动力学特性
如果我们希望追踪器沿 $x$ 轴直线运动（$y(t) \equiv 0$），这在无控状态下是不可能的。 由 HCW 方程 $\ddot{y} + 2n\dot{x} = 0$ 可知，只要有径向速度 $\dot{x}$，就会产生切向加速度（科里奥利力），导致追踪器偏离 R-bar。
实施策略
为了维持在 R-bar 上，追踪器必须不断施加切向推力来抵消科里奥利力。
- 自然制动效应：如果发动机故障，推力停止，科里奥利力会使追踪器偏离 R-bar，并落后于目标器（如果从下方接近）。这种被动安全性 (Passive Safety) 是 R-bar 接近最大的优势。
- 应用：航天飞机 (Space Shuttle) 和 国际空间站 (ISS) 的对接通常采用 R-bar 接近。
足球轨道 (Football Orbit) / 相对绕飞
如果我们要让追踪器在目标器附近待机（Hold），而不是立即对接，我们可以设计一个相对绕飞轨道。 在 HCW 解中，消除长期漂移项（即 $t$ 的系数为 0），需满足初始条件：
此时，相对运动轨迹变为一个椭圆：
其中长轴 $A_y$ 是短轴 $A_x$ 的 2 倍（$2:1$ 椭圆）。 因为形状像美式足球，所以被称为足球轨道。
- 应用：在对接前的最后检查阶段，追踪器通常会进入足球轨道，绕着目标器飞行，利用不同角度的传感器确认目标状态。
总结
- V-bar：沿切向接近，控制简单，但安全性较低。
- R-bar：沿径向接近，利用重力梯度实现被动安全，是现代空间站对接的首选策略。
- 足球轨道：用于待机和绕飞观测。
这些轨迹的设计都基于圆轨道假设。如果目标器在椭圆轨道上，HCW 方程失效，上述策略需要修正。下一章，我们将介绍处理椭圆轨道相对运动的 Tschauner-Hempel (T-H) 方程。