姿态动力学Vol.3 四元数(Quaternion)代数与姿态微分方程

引言

为了克服欧拉角的奇点问题，同时避免 DCM 的参数冗余（9个参数，6个约束），数学家们一直在寻找一种更优的姿态描述方法。1843年，爱尔兰数学家威廉·哈密顿 (William Hamilton) 在都柏林的一座桥上散步时，灵光一闪，发明了四元数 (Quaternion)。

四元数用 4 个参数描述 3 维旋转，它不仅无奇点，而且计算效率极高（只需 4 次乘法即可更新姿态，而 DCM 需要 27 次）。如今，四元数已成为现代航天控制软件、计算机图形学（如Unity引擎）和机器人学的标准工具。本章将带你深入理解四元数的代数性质及其在姿态动力学中的应用。

1. 从轴-角到四元数

1.1 欧拉旋转定理

欧拉旋转定理 (Euler’s Rotation Theorem) 指出：刚体绕定点的任意位移，都可以等效为绕过该点某一轴 $\mathbf{e}$ 旋转一个角度 $\Phi$。这就是轴-角 (Axis-Angle) 描述。虽然直观，但直接使用轴和角进行计算（如连续旋转的合成）非常复杂。

1.2 四元数的定义

四元数 $\mathbf{q}$ 正是基于轴-角概念定义的。它由一个标量部分 $q_0$ 和一个矢量部分 $\mathbf{q}_{vec} = [q_1, q_2, q_3]^T$ 组成：

$\mathbf{q} = \begin{bmatrix} q_0 \\ q_1 \\ q_2 \\ q_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos(\Phi/2) \\ e_x \sin(\Phi/2) \\ e_y \sin(\Phi/2) \\ e_z \sin(\Phi/2) \end{bmatrix}$

或者写成：

$\mathbf{q} = q_0 + \mathbf{q}_{vec} = \cos(\Phi/2) + \mathbf{e} \sin(\Phi/2)$

注意：

归一化约束：由于 $\mathbf{e}$ 是单位矢量，容易证明 $|\mathbf{q}|^2 = q_0^2 + q_1^2 + q_2^2 + q_3^2 = \cos^2(\Phi/2) + \sin^2(\Phi/2) = 1$。因此，描述姿态的必须是单位四元数。
半角：定义中使用了 $\Phi/2$ 而不是 $\Phi$，这是四元数代数性质的关键，也是它能避免奇点的原因。

2. 四元数代数

四元数是复数的推广。复数有一个虚部 $i$，而四元数有三个虚部 $i, j, k$，满足哈密顿著名的公式：

$i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1$

2.1 乘法运算 (Quaternion Product)

四元数乘法（记为 $\otimes$）是不满足交换律的（$\mathbf{p} \otimes \mathbf{q} \neq \mathbf{q} \otimes \mathbf{p}$）。设 $\mathbf{p} = p_0 + \mathbf{p}_{vec}, \mathbf{q} = q_0 + \mathbf{q}_{vec}$，利用虚部乘法规则，可以推导出：

$\mathbf{p} \otimes \mathbf{q} = \begin{bmatrix} p_0 q_0 - \mathbf{p}_{vec} \cdot \mathbf{q}_{vec} \\ p_0 \mathbf{q}_{vec} + q_0 \mathbf{p}_{vec} + \mathbf{p}_{vec} \times \mathbf{q}_{vec} \end{bmatrix}$

这个公式涵盖了点乘和叉乘，非常优美。

2.2 旋转算子

若要将三维矢量 $\mathbf{v}$ 旋转，首先将其扩充为纯四元数（标量部为0）：$\mathbf{v}’ = 0 + \mathbf{v}$。旋转后的矢量 $\mathbf{w}$ 对应的四元数 $\mathbf{w}’$ 由以下“三明治”积给出：

$\mathbf{w}' = \mathbf{q} \otimes \mathbf{v}' \otimes \mathbf{q}^*$

其中 $\mathbf{q}^* = q_0 - \mathbf{q}_{vec}$ 是共轭四元数（类似于复共轭）。这一操作等价于 $\mathbf{w} = \mathbf{C}(\mathbf{q}) \mathbf{v}$，其中 $\mathbf{C}(\mathbf{q})$ 是由四元数导出的 DCM。

2.3 四元数与 DCM 的转换

$\mathbf{C}(\mathbf{q}) = \begin{bmatrix} 1 - 2(q_2^2 + q_3^2) & 2(q_1 q_2 + q_0 q_3) & 2(q_1 q_3 - q_0 q_2) \\ 2(q_1 q_2 - q_0 q_3) & 1 - 2(q_1^2 + q_3^2) & 2(q_2 q_3 + q_0 q_1) \\ 2(q_1 q_3 + q_0 q_2) & 2(q_2 q_3 - q_0 q_1) & 1 - 2(q_1^2 + q_2^2) \end{bmatrix}$

这是一个二次型映射。

3. 姿态运动学微分方程

这是姿态动力学中最重要的方程之一。它描述了四元数随时间的变化率 $\dot{\mathbf{q}}$ 与角速度 $\boldsymbol{\omega}$ 的关系。

3.1 推导思路

利用旋转算子 $\mathbf{v}_B = \mathbf{q}^* \otimes \mathbf{v}_N \otimes \mathbf{q}$ 对时间求导，并结合传输定理，经过一系列复杂的代数运算（此处略去过程，直接给出结果），可以得到：

$\dot{\mathbf{q}} = \frac{1}{2} \mathbf{q} \otimes \boldsymbol{\omega}'$

其中 $\boldsymbol{\omega}’ = 0 + \boldsymbol{\omega}$ 是角速度的纯四元数形式。

3.2 矩阵形式

为了便于计算机编程，通常写成矩阵向量乘积形式：

$\begin{bmatrix} \dot{q}_0 \\ \dot{q}_1 \\ \dot{q}_2 \\ \dot{q}_3 \end{bmatrix} = \frac{1}{2} \boldsymbol{\Omega}(\boldsymbol{\omega}) \begin{bmatrix} q_0 \\ q_1 \\ q_2 \\ q_3 \end{bmatrix}$

其中 $\boldsymbol{\Omega}(\boldsymbol{\omega})$ 是一个反对称矩阵：

$\boldsymbol{\Omega}(\boldsymbol{\omega}) = \begin{bmatrix} 0 & -\omega_x & -\omega_y & -\omega_z \\ \omega_x & 0 & \omega_z & -\omega_y \\ \omega_y & -\omega_z & 0 & \omega_x \\ \omega_z & \omega_y & -\omega_x & 0 \end{bmatrix}$

3.3 优缺点分析

优点：

线性：方程右边是 $\mathbf{q}$ 的线性函数，非常适合数值积分。
无奇点：无论姿态如何，该方程始终有效，没有除零风险。
效率：计算量远小于 DCM 的泊松方程。

缺点：

双倍覆盖 (Double Cover)：由于 $\cos((\Phi+2\pi)/2) = -\cos(\Phi/2)$，四元数 $\mathbf{q}$ 和 $-\mathbf{q}$ 代表同一个物理姿态。这在控制律设计时需要注意（通常选择距离当前 $\mathbf{q}$ 最近的那个符号）。
归一化：在数值积分过程中，由于截断误差，$\mathbf{q}$ 的模长会逐渐偏离 1。非单位四元数不再代表纯旋转（包含缩放）。因此，必须在每一步积分后进行强制归一化： $\mathbf{q}_{new} = \frac{\mathbf{q}_{raw}}{\|\mathbf{q}_{raw}\|}$

结语

四元数以其优雅的代数性质和高效的计算性能，成为了姿态描述的王者。然而，对于某些特定的分析任务（如稳定性分析），四元数的物理意义不如罗德里格斯参数 (Rodrigues Parameters) 直观。下一章，我们将探讨这组有趣的参数及其修正形式，它们在处理大角度机动时有着独特的优势。

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updated at 2025-11-21

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