航天器自动交会对接Vol.2 相对运动动力学：HCW方程

引言

在《轨道动力学》系列中，我们习惯于在惯性系（如 ECI）下描述卫星运动。但在交会对接的近距离阶段（相距 < 100 km），关注两个航天器的相对位置和相对速度比关注它们的绝对位置更有意义。

本章将推导描述近圆轨道附近相对运动的经典线性方程——Hill-Clohessy-Wiltshire (HCW) 方程（简称 C-W 方程）。它是理解交会对接动力学的基石。

坐标系定义：LVLH

为了描述相对运动，我们建立以目标器（Target）质心为原点的本地垂直本地水平 (Local Vertical Local Horizontal, LVLH) 坐标系（也称为轨道坐标系或 RTN 坐标系）：

原点 $O$：目标器质心。
$x$ 轴 (R-bar)：沿地心指向目标器方向（径向，Radial）。
$z$ 轴 (H-bar)：沿轨道角动量方向（法向，Normal/Cross-track）。
$y$ 轴 (V-bar)：完成右手定则，在圆轨道下指向速度方向（切向，Tangential/Along-track）。

注意：有些文献定义 $x$ 为切向，$z$ 为径向，阅读时需确认定义。本文采用 $x$-径向, $y$-切向, $z$-法向 的定义。

动力学方程推导

假设：

目标器运行在圆轨道上，轨道半径为 $a$，角速度为 $n = \sqrt{\mu/a^3}$。
追踪器与目标器的距离 $\rho$ 远小于轨道半径 $a$（即 $\rho/a \ll 1$）。
只考虑中心引力，忽略摄动。

在旋转坐标系下，追踪器的相对位置矢量为 $\boldsymbol{\rho} = [x, y, z]^T$。根据科里奥利定理，相对加速度为：

$\ddot{\boldsymbol{\rho}} + 2\boldsymbol{\omega} \times \dot{\boldsymbol{\rho}} + \boldsymbol{\omega} \times (\boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{\rho}) = \mathbf{f}_{grav} + \mathbf{f}_{thrust}$

其中 $\boldsymbol{\omega} = [0, 0, n]^T$。

将引力项线性化（泰勒展开保留一阶项），我们得到著名的 HCW 方程：

$\begin{cases} \ddot{x} - 2n\dot{y} - 3n^2 x = f_x / m \\ \ddot{y} + 2n\dot{x} = f_y / m \\ \ddot{z} + n^2 z = f_z / m \end{cases}$

物理意义解析

1. 面内运动 ($x-y$) 与面外运动 ($z$) 解耦

方程显示，$z$ 轴（法向）的运动是独立的简谐振动：

$\ddot{z} + n^2 z = 0$

这意味着如果追踪器仅有面外初始偏差，它将围绕目标器在法向做简谐运动，每轨道周期振荡一次。这在几何上表现为两个轨道平面的交叉。

2. 径向与切向的耦合 ($x-y$)

$x$ 和 $y$ 的方程是耦合的。

科里奥利力项 ($2n\dot{y}, -2n\dot{x}$)：表明径向速度会引起切向加速度，切向速度会引起径向加速度。
潮汐力项 ($-3n^2 x$)：这是由于引力随高度变化引起的。如果追踪器在目标器上方 ($x>0$)，引力减小，离心力增大，产生向上的净力；反之亦然。这就是为什么物体在太空中“扔”出去后不会走直线。

3. 无控轨迹特性

当无外力 ($f=0$) 时，HCW 方程有解析解。

漂移 (Drift)：如果 $\dot{y}_0 \neq -2nx_0$，追踪器将相对于目标器产生长期漂移（$y$ 随时间线性增加）。这对应于轨道周期不同导致的相位滑移。
绕飞 (Fly-around)：如果满足特定初始条件，追踪器可以围绕目标器做椭圆形的相对运动（在 LVLH 系看是椭圆，在惯性系看是两个略微不同的椭圆轨道）。

局限性

HCW 方程是线性化近似，其精度受限于：

距离：当相对距离较大（>几十公里）时，线性化误差增大。
偏心率：假设目标器是圆轨道。如果目标器轨道偏心率 $e > 0.01$，误差会显著增加。此时需使用 Tschauner-Hempel (T-H) 方程（将在 Vol.4 介绍）。
摄动：未考虑 $J_2$ 摄动，这在长时间（数天）的远距离导引中必须修正。

尽管如此，HCW 方程对于最后几公里的交会对接是足够精确的，也是设计 V-bar/R-bar 接近策略的理论基础。

updated at 2025-11-21

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