姿态动力学Vol.2 欧拉角(Euler Angles)体系与万向节死锁的数学本质

引言

方向余弦矩阵 (DCM) 虽然数学性质完美，但不够直观。如果你告诉飞行员“现在的姿态矩阵是…”，他肯定会疯掉。人类更习惯用“滚转 (Roll)、俯仰 (Pitch)、偏航 (Yaw)”来描述姿态。

这种将三维旋转分解为三次绕不同轴的连续旋转的方法，统称为欧拉角 (Euler Angles)。它将复杂的姿态描述简化为三个直观的角度。然而，直观的背后隐藏着一个致命的数学陷阱——万向节死锁 (Gimbal Lock)。本章将系统地介绍欧拉角体系，推导其运动学方程，并从数学本质上揭示奇点产生的根源。

1. 欧拉角的定义与序列

欧拉角并非只有一种。根据旋转轴的选择顺序不同，共有 12 种可能的旋转序列。这 12 种序列分为两类：

1.1 经典欧拉角 (Classic Euler Angles)

这类序列中，第一次和第三次旋转绕相同的轴（例如 $Z \to X \to Z$）。

序列：3-1-3, 3-2-3, 1-2-1, 1-3-1, 2-1-2, 2-3-2。
应用：经典力学中描述刚体定点转动（如陀螺），轨道力学中的轨道要素（$mega, i, mega$ 对应 3-1-3 序列）。

1.2 泰特-布莱恩角 (Tait-Bryan Angles)

这类序列中，三次旋转绕三个不同的轴（例如 $Z \to Y \to X$）。

序列：1-2-3, 1-3-2, 2-1-3, 2-3-1, 3-1-2, 3-2-1。
应用：航空航天工程。其中 3-2-1 序列 是描述飞机和导弹姿态的标准序列。

1.3 3-2-1 序列详解

让我们详细推导最常用的 3-2-1 序列 ($Z \to Y \to X$)。假设从参考系 $N$ 到本体系 $B$ 的变换过程如下：

偏航 (Yaw, $si$)：绕 $Z_N$ 轴旋转 $si$，得到中间系 $1$。 $\mathbf{C}_1 = \mathbf{R}_3(\psi) = \begin{bmatrix} c\psi & s\psi & 0 \ -s\psi & c\psi & 0 \ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$
俯仰 (Pitch, $\theta$)：绕中间系 $1$ 的 $Y_1$ 轴旋转 $\theta$，得到中间系 $2$。 $\mathbf{C}_2 = \mathbf{R}_2(\theta) = \begin{bmatrix} c\theta & 0 & -s\theta \ 0 & 1 & 0 \ s\theta & 0 & c\theta \end{bmatrix}$
滚转 (Roll, $hi$)：绕中间系 $2$ 的 $X_2$ 轴旋转 $hi$，得到最终的本体系 $B$。 $\mathbf{C}_3 = \mathbf{R}_1(\phi) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & c\phi & s\phi \ 0 & -s\phi & c\phi \end{bmatrix}$

总的旋转矩阵 $\mathbf{C}_{BN}$ 为三次旋转的乘积（注意顺序：后旋转的左乘）：

$\mathbf{C}_{BN}(\psi, \theta, \phi) = \mathbf{C}_3 \mathbf{C}_2 \mathbf{C}_1 = \mathbf{R}_1(\phi) \mathbf{R}_2(\theta) \mathbf{R}_3(\psi)$

展开后可得著名的方向余弦表：

$\mathbf{C}_{BN} = \begin{bmatrix} c\theta c\psi & c\theta s\psi & -s\theta \\ s\phi s\theta c\psi - c\phi s\psi & s\phi s\theta s\psi + c\phi c\psi & s\phi c\theta \\ c\phi s\theta c\psi + s\phi s\psi & c\phi s\theta s\psi - s\phi c\psi & c\phi c\theta \end{bmatrix}$

2. 运动学方程与奇点

我们不仅关心角度本身，更关心角度的变化率 $(\dot{\phi}, \dot{\theta}, \dot{\psi})$ 与本体角速度 $\boldsymbol{\omega} = [p, q, r]^T$ 之间的关系。

2.1 角速度的合成

注意：$\boldsymbol{\omega}$ 是物理角速度矢量，而 $(\dot{\phi}, \dot{\theta}, \dot{\psi})$ 只是三个标量参数的变化率。它们对应的旋转轴并不正交，甚至不在同一个坐标系中。

$\dot{\psi}$ 是绕 $Z_N$ 轴的。
$\dot{\theta}$ 是绕 $Y_1$ 轴的（中间轴）。
$\dot{\phi}$ 是绕 $X_B$ 轴的（本体轴）。

将这三个角速度矢量投影到本体系 $B$ 中并相加，得到总角速度：

$\boldsymbol{\omega} = \dot{\phi} \mathbf{i}_B + \dot{\theta} \mathbf{j}_2 + \dot{\psi} \mathbf{k}_N$

利用坐标变换将 $\mathbf{j}_2$ 和 $\mathbf{k}_N$ 变换到 $B$ 系：

$\begin{bmatrix} p \ q \ r \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & -\sin\theta \ 0 & \cos\phi & \sin\phi\cos\theta \ 0 & -\sin\phi & \cos\phi\cos\theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \dot{\phi} \ \dot{\theta} \ \dot{\psi} \end{bmatrix}$

2.2 运动学微分方程

为了在仿真中更新欧拉角，我们需要上述方程的逆关系，即用 $\boldsymbol{\omega}$ 求 $(\dot{\phi}, \dot{\theta}, \dot{\psi})$。对系数矩阵求逆，得到 3-2-1 序列的运动学方程：

$\begin{bmatrix} \dot{\phi} \ \dot{\theta} \ \dot{\psi} \end{bmatrix} = \frac{1}{\cos\theta} \begin{bmatrix} \cos\theta & \sin\phi\sin\theta & \cos\phi\sin\theta \ 0 & \cos\phi\cos\theta & -\sin\phi\cos\theta \ 0 & \sin\phi & \cos\phi \end{bmatrix} \begin{bmatrix} p \ q \ r \end{bmatrix}$

2.3 万向节死锁 (Gimbal Lock) 的数学本质

请密切关注上述矩阵中的公因子 $\frac{1}{\cos\theta}$。当俯仰角 $\theta \to \pm 90^\circ$ 时，$\cos\theta \to 0$，方程右边趋于无穷大。这意味着：在 $\theta = \pm 90^\circ$ 时，欧拉角运动学方程存在奇点。

几何解释：回顾 3-2-1 序列的旋转过程。当 $\theta = 90^\circ$ 时，中间系 $2$ 的 $X$ 轴垂直向上，与初始系 $N$ 的 $Z$ 轴重合（或反向）。此时，第一转轴（偏航轴 $Z_N$）和第三转轴（滚转轴 $X_B$）变得平行。这就好比一个三轴万向节，当中间的环转到 90 度时，内环和外环的转轴重合了。系统瞬间失去了一个自由度。此时，我们无法区分滚转和偏航，因为它们绕的是同一根物理轴。

后果：

数值发散：在数值积分中，计算机会报除零错误或产生巨大的数值误差，导致姿态解算失败。
控制失效：在奇点附近，雅可比矩阵条件数变差，控制算法可能输出极大的控制力矩，导致系统不稳定。
阿波罗 13 号：阿波罗飞船使用了物理万向节平台。为了防止死锁，飞船必须避免特定的姿态机动（如“红区”）。一旦进入死锁，惯导平台将失去姿态基准，这在太空中是灾难性的。

3. 小角度近似

虽然大角度存在奇点，但在姿态稳定控制中，卫星通常保持在平衡位置附近（小角度）。当 $\phi, \theta, \psi \approx 0$ 时：

$\cos(\cdot) \approx 1, \sin(\cdot) \approx (\cdot)$
忽略二阶小量。

此时，DCM 简化为：

$\mathbf{C}_{BN} \approx \begin{bmatrix} 1 & \psi & -\theta \ -\psi & 1 & \phi \ \theta & -\phi & 1 \end{bmatrix} = \mathbf{I} - [\boldsymbol{\theta} \times]$

运动学方程简化为：

$\dot{\phi} \approx p, \quad \dot{\theta} \approx q, \quad \dot{\psi} \approx r$

这意味着在小角度下，欧拉角的变化率近似等于本体角速度。这使得线性控制理论（如 PID）可以直接应用于姿态控制，这也是为什么欧拉角在工程中依然被广泛使用的原因——只要你保证不翻跟头。

结语

欧拉角直观、易懂，是飞行员和工程师沟通的语言。但在全姿态飞行或高机动任务中，它的奇点问题是致命的。为了解决这个问题，数学家引入了复数在四维空间的推广——四元数。它不仅消除了奇点，还带来了极高的计算效率。下一章，我们将揭开四元数的神秘面纱。

引言

这种将三维旋转分解为三次绕不同轴的连续旋转的方法，统称为欧拉角 (Euler Angles)。然而，直观的背后隐藏着一个致命的数学陷阱——万向节死锁 (Gimbal Lock)。

1. 欧拉角的定义与序列

欧拉角并非只有一种。根据旋转轴的选择顺序不同，共有 12 种可能的旋转序列。

1.1 经典欧拉角 (Classic Euler Angles)

旋转轴重复使用，例如 3-1-3 序列 ($Z \to X \to Z$)。这是经典力学中描述刚体定点转动的标准方法，常用于轨道力学（如 $\Omega, i, \omega$ 就是一种 3-1-3 序列）。

1.2 泰特-布莱恩角 (Tait-Bryan Angles)

旋转轴不重复，例如 3-2-1 序列 ($Z \to Y \to X$)。这是航空航天中最常用的序列，对应于：

绕 $Z$ 轴旋转 $\psi$ (Yaw, 偏航)
绕 $Y$ 轴旋转 $\theta$ (Pitch, 俯仰)
绕 $X$ 轴旋转 $\phi$ (Roll, 滚转)

其 DCM 可以通过三个基本旋转矩阵相乘得到：

$\mathbf{C}_{321}(\psi, \theta, \phi) = \mathbf{R}_1(\phi) \mathbf{R}_2(\theta) \mathbf{R}_3(\psi)$

展开后可得：

$\mathbf{C}_{321} = \begin{bmatrix} c\theta c\psi & c\theta s\psi & -s\theta \\ s\phi s\theta c\psi - c\phi s\psi & s\phi s\theta s\psi + c\phi c\psi & s\phi c\theta \\ c\phi s\theta c\psi + s\phi s\psi & c\phi s\theta s\psi - s\phi c\psi & c\phi c\theta \end{bmatrix}$

2. 运动学方程与奇点

我们不仅关心角度本身，更关心角度的变化率 $(\dot{\phi}, \dot{\theta}, \dot{\psi})$ 与本体角速度 $\boldsymbol{\omega} = [p, q, r]^T$ 之间的关系。

注意：$\boldsymbol{\omega}$ 是物理角速度，而 $(\dot{\phi}, \dot{\theta}, \dot{\psi})$ 是三个非正交轴上的角速度分量。它们之间不是简单的相等关系。

对于 3-2-1 序列，其运动学方程为：

$\begin{bmatrix} \dot{\phi} \\ \dot{\theta} \\ \dot{\psi} \end{bmatrix} = \frac{1}{\cos\theta} \begin{bmatrix} \cos\theta & \sin\phi\sin\theta & \cos\phi\sin\theta \\ 0 & \cos\phi\cos\theta & -\sin\phi\cos\theta \\ 0 & \sin\phi & \cos\phi \end{bmatrix} \begin{bmatrix} p \\ q \\ r \end{bmatrix}$

2.1 万向节死锁 (Gimbal Lock)

请注意上述矩阵中的系数 $\frac{1}{\cos\theta}$。当俯仰角 $\theta \to \pm 90^\circ$ 时，$\cos\theta \to 0$，方程右边趋于无穷大。这意味着：在 $\theta = 90^\circ$ 时，欧拉角无法描述姿态的运动。

从几何上看，当 $\theta = 90^\circ$ 时，第一转轴 ($Z$轴) 和第三转轴 ($X$轴) 重合了。系统失去了一个自由度。此时，我们无法区分滚转和偏航，因为它们绕的是同一根轴。

后果：

在数值积分中，计算机会报除零错误或产生巨大的数值误差。
在阿波罗登月任务中，惯性导航平台使用了物理万向节。为了防止死锁，飞船必须避免特定的姿态机动。

3. 小角度近似

虽然大角度存在奇点，但在姿态稳定控制中，卫星通常保持在平衡位置附近（小角度）。当 $\phi, \theta, \psi \approx 0$ 时：

$\cos \approx 1, \sin \approx \text{angle}$
$\dot{\phi} \approx p$
$\dot{\theta} \approx q$
$\dot{\psi} \approx r$

此时，欧拉角变化率近似等于角速度。这使得线性控制理论（如 PID）可以直接应用于姿态控制。

结语

欧拉角直观、易懂，是飞行员和工程师沟通的语言。但在全姿态飞行或高机动任务中，它的奇点问题是致命的。为了解决这个问题，数学家引入了复数在四维空间的推广——四元数。

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updated at 2025-11-21

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