姿态动力学Vol.1 姿态运动学核心：参考系定义与方向余弦矩阵(DCM)

引言

如果说轨道动力学关心的是“卫星在哪里”（位置与速度），那么姿态动力学 (Attitude Dynamics) 关心的就是“卫星朝向哪里”（方向与角速度）。无论是哈勃望远镜的精确指向，还是通信卫星的天线对地覆盖，亦或是载人飞船的交会对接，都离不开对姿态的精确描述与控制。

姿态（Attitude）本质上描述的是两个坐标系之间的旋转关系。本章作为系列的开篇，将建立描述姿态的基石——参考系与方向余弦矩阵 (Direction Cosine Matrix, DCM)。我们将深入探讨参考系的定义细节、DCM的数学性质以及矢量求导的传输定理。

1. 常用参考系定义

在航天领域，我们必须明确“相对于谁”在旋转。混淆参考系是导致航天事故的常见原因之一。以下是四个最基础且至关重要的参考系：

1.1 地心惯性系 (Earth-Centered Inertial, ECI)

符号：$I$ 或 $N$ (Newtonian)
原点：地球质心。
$X_I$ 轴：指向春分点（Vernal Equinox），即太阳每年春分时刻在天球上的位置。
$Z_I$ 轴：沿地球自转轴指向北极（North Pole）。
$Y_I$ 轴：在赤道面内，与 $X_I, Z_I$ 构成右手定则 ($Y_I = Z_I \times X_I$)。
性质：这是一个近似的惯性系（忽略地球绕太阳公转的加速度），牛顿运动定律在此系中成立。它是描述航天器绝对运动和积分动力学方程的基准系。

1.2 地心固连系 (Earth-Centered Earth-Fixed, ECEF)

符号：$E$
原点：地球质心。
$X_E$ 轴：指向本初子午线（Greenwich Meridian）与赤道的交点。
$Z_E$ 轴：沿地球自转轴指向北极（与 $Z_I$ 重合）。
$Y_E$ 轴：在赤道面内，满足右手定则。
性质：该坐标系随地球自转。相对于 ECI 系，它绕 $Z_I$ 轴以地球自转角速度 $\omega_e \approx 7.292 \times 10^{-5} \text{rad/s}$ 旋转。它主要用于描述地面站位置、重力场分布以及地球形状模型。

1.3 轨道系 (Orbit Frame / LVLH)

通常称为 Local Vertical Local Horizontal (LVLH) 系，也有文献称为 RSW 系。

符号：$O$ 或 $L$
原点：航天器质心。
$Z_O$ 轴：指向地心（Local Vertical），即 $-\mathbf{r}$ 方向（$\mathbf{r}$ 为地心矢径）。
$Y_O$ 轴：沿轨道负法线方向，即 $-\mathbf{h}$ 方向（$\mathbf{h} = \mathbf{r} \times \mathbf{v}$ 为轨道角动量）。
$X_O$ 轴：在轨道面内，满足右手定则 ($X_O = Y_O \times Z_O$)。对于圆轨道，它严格指向速度方向；对于椭圆轨道，它与速度方向存在飞行路径角（Flight Path Angle）的偏差。
性质：这是一个旋转参考系，其旋转角速度取决于轨道周期。它用于描述对地定向任务（如遥感卫星、通信卫星），因为在理想对地定向模式下，卫星本体系应与 LVLH 系重合。

1.4 本体系 (Body Frame)

符号：$B$
原点：航天器质心。
轴向：固连在卫星本体上。通常选择卫星的主惯性轴（Principal Axes of Inertia）作为坐标轴，这样惯性张量为对角阵，能极大简化动力学方程。
- $X_B$：通常定义为纵轴或滚动轴。
- $Y_B$：横轴或俯仰轴。
- $Z_B$：立轴或偏航轴。
性质：这是姿态确定的目标系。传感器（陀螺、星敏）和执行器（飞轮、喷管）的安装矩阵都是相对于此系定义的。

2. 方向余弦矩阵 (DCM)

2.1 定义与几何意义

假设有两个共原点的坐标系 $A$ 和 $B$。基矢量分别为 $\{\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \mathbf{a}_3\}$ 和 $\{\mathbf{b}_1, \mathbf{b}_2, \mathbf{b}_3\}$。任意矢量 $\mathbf{v}$ 在这两个系中的投影分别为 $\mathbf{v}_A$ 和 $\mathbf{v}_B$。存在一个 $3 \times 3$ 的矩阵 $\mathbf{C}_{BA}$，使得：

$\mathbf{v}_B = \mathbf{C}_{BA} \mathbf{v}_A$

这个矩阵被称为方向余弦矩阵 (Direction Cosine Matrix, DCM)，或者从 $A$ 到 $B$ 的旋转矩阵。其元素 $C_{ij}$ 具有明确的几何意义：它是系 $B$ 的第 $i$ 轴与系 $A$ 的第 $j$ 轴之间夹角的余弦。

$C_{ij} = \mathbf{b}_i \cdot \mathbf{a}_j = \cos(\theta_{ij})$

因此，$\mathbf{C}_{BA}$ 的第 $j$ 列实际上是 $\mathbf{a}_j$ 在系 $B$ 中的分量；第 $i$ 行是 $\mathbf{b}_i$ 在系 $A$ 中的分量。

2.2 核心数学性质

DCM 属于特殊正交群 $SO(3)$，具有以下关键性质：

正交性 (Orthogonality)：
$\mathbf{C}^{-1} = \mathbf{C}^T$
这意味着 $\mathbf{C} \mathbf{C}^T = \mathbf{C}^T \mathbf{C} = \mathbf{I}$。这一性质极大地简化了逆变换的计算：$\mathbf{v}_A = \mathbf{C}_{BA}^T \mathbf{v}_B = \mathbf{C}_{AB} \mathbf{v}_B$。
行列式为 +1 (Determinant)：
$\det(\mathbf{C}) = +1$
这保证了变换是纯旋转，不包含反射（Reflection）。如果行列式为 -1，则意味着坐标系的手性发生了改变（如从右手系变为了左手系）。
特征值 (Eigenvalues)： DCM 必有一个实特征值 $\lambda = 1$。对应的特征向量 $\mathbf{e}$ 即为欧拉轴 (Euler Axis)，即旋转轴。在该轴上的矢量旋转后不发生变化。另外两个特征值为复共轭 $e^{\pm i\Phi}$，其中 $\Phi$ 为欧拉角 (Euler Angle)，即绕该轴旋转的角度。
传递性 (Chain Rule)：
$\mathbf{C}_{CB} \mathbf{C}_{BA} = \mathbf{C}_{CA}$
注意矩阵乘法的顺序：先进行的旋转在右边。这与矢量的左乘顺序一致：$\mathbf{v}_C = \mathbf{C}_{CB} (\mathbf{C}_{BA} \mathbf{v}_A)$。

2.3 基本旋转矩阵

任何复杂的旋转都可以分解为绕三个坐标轴的基本旋转的组合。 (注：此处采用“被动旋转”约定，即坐标轴旋转，矢量不动。这是航天动力学的标准约定。)

绕 1 轴 ($X$轴) 旋转 $\theta$： $\mathbf{R}_1(\theta) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos\theta & \sin\theta \\ 0 & -\sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix}$
绕 2 轴 ($Y$轴) 旋转 $\theta$： $\mathbf{R}_2(\theta) = \begin{bmatrix} \cos\theta & 0 & -\sin\theta \\ 0 & 1 & 0 \\ \sin\theta & 0 & \cos\theta \end{bmatrix}$
绕 3 轴 ($Z$轴) 旋转 $\theta$： $\mathbf{R}_3(\theta) = \begin{bmatrix} \cos\theta & \sin\theta & 0 \\ -\sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

3. 姿态运动学方程 (Kinematics)

姿态不仅是静态的朝向，更是随时间变化的。我们需要建立 DCM 的时间导数 $\dot{\mathbf{C}}_{BA}$ 与角速度 $\boldsymbol{\omega}$ 之间的关系。

3.1 传输定理 (Transport Theorem)

设矢量 $\mathbf{r}$ 在惯性系 $N$ 中的导数为 $\dot{\mathbf{r}}_N$，在旋转系 $B$ 中的导数为 $\dot{\mathbf{r}}_B$。两者关系由传输定理给出：

$\dot{\mathbf{r}}_N = \dot{\mathbf{r}}_B + \boldsymbol{\omega}_{BN} \times \mathbf{r}$

其中 $\boldsymbol{\omega}_{BN}$ 是系 $B$ 相对于系 $N$ 的角速度。

3.2 泊松方程 (Poisson’s Equation)

利用传输定理，我们可以推导出 DCM 的微分方程。设 $\mathbf{C} = \mathbf{C}_{BN}$。对于任意固连在 $N$ 系的恒定矢量 $\mathbf{u}$，其在 $N$ 系中导数为 0。在 $B$ 系中，$\mathbf{u}_B = \mathbf{C} \mathbf{u}_N$。对时间求导：

$\dot{\mathbf{u}}_B = \dot{\mathbf{C}} \mathbf{u}_N + \mathbf{C} \dot{\mathbf{u}}_N = \dot{\mathbf{C}} \mathbf{u}_N$

另一方面，根据传输定理（逆向应用，视 $B$ 为静止，观察 $N$ 中的矢量）：

$\dot{\mathbf{u}}_B = -\boldsymbol{\omega}_{BN}^B \times \mathbf{u}_B = -[\boldsymbol{\omega}_{BN}^B \times] \mathbf{C} \mathbf{u}_N$

比较两式，由于 $\mathbf{u}_N$ 是任意的，可得：

$\dot{\mathbf{C}}_{BN} = -[\boldsymbol{\omega}_{BN}^B \times] \mathbf{C}_{BN}$

其中 $[\boldsymbol{\omega} \times]$ 是角速度矢量的反对称矩阵（Skew-symmetric matrix）：

$[\boldsymbol{\omega} \times] = \begin{bmatrix} 0 & -\omega_z & \omega_y \\ \omega_z & 0 & -\omega_x \\ -\omega_y & \omega_x & 0 \end{bmatrix}$

这个方程被称为泊松方程。它是姿态解算的核心。通过积分这个微分方程，我们可以根据陀螺仪测量的角速度更新当前的姿态矩阵。

结语

DCM 是描述姿态最严谨、无奇点的方式，它构成了所有其他姿态参数（欧拉角、四元数）的数学基础。但它有 9 个元素却只有 3 个自由度，存在 6 个冗余约束。在数值积分中，由于截断误差，矩阵会逐渐失去正交性，导致计算发散。因此，在实际工程中，我们更倾向于使用参数更少的描述方法。

下一章，我们将深入探讨最直观、最符合人类直觉，但也最危险的姿态描述方式——欧拉角，并揭示其背后的“万向节死锁”之谜。

updated at 2025-11-21

# 姿态动力学 # 坐标变换 # 基础理论