引言
轨道确定 (Orbit Determination, OD) 是航天动力学的核心反问题。其基本任务是：根据地面观测站或星载传感器获得的一系列观测数据（如角度、距离、距离变化率等），估算出航天器在某一时刻的状态矢量 $(\mathbf{r}, \mathbf{v})$ 或轨道要素。
初轨确定 (Initial Orbit Determination, IOD) 特指在没有任何先验信息的情况下，仅凭少量的观测数据（通常是短弧段）获得轨道初步解的过程。本章将介绍两种最经典的基于三个位置矢量的 IOD 方法：吉布斯 (Gibbs) 方法 和 高斯 (Gauss) 方法。
问题描述
假设我们通过某种手段（如雷达测距测角，或多台望远镜三角定位）获得了同一卫星在三个不同时刻 $t_1, t_2, t_3$ 的地心位置矢量：
已知 $t_1 < t_2 < t_3$。 目标：求解 $t_2$ 时刻的速度矢量 $\mathbf{v}_2$。 一旦有了 $(\mathbf{r}_2, \mathbf{v}_2)$，我们就可以确定整个轨道。
吉布斯 (Gibbs) 方法
吉布斯方法主要基于几何关系，适用于三个观测点间隔较大（例如 $> 10^\circ$）的情况。
理论基础
由于二体运动是平面的，三个位置矢量 $\mathbf{r}_1, \mathbf{r}_2, \mathbf{r}_3$ 必须共面。如果它们不共面（由于观测误差），吉布斯方法将失效或需要修正。
吉布斯推导出了速度矢量 $\mathbf{v}_2$ 的显式表达式：
(注：这是一种形式，更常用的工程公式如下)
常用算法流程
定义三个辅助矢量：
验证共面性：$\mathbf{r}_1 \cdot \mathbf{Z}_{23} \approx 0$。
定义三个标量：
则中间时刻的速度 $\mathbf{v}_2$ 为：
其中 $L$ 是半通径相关项。
(更简洁的矢量形式)：
其中 $\mathbf{N} = r_1(\mathbf{r}_2 \times \mathbf{r}_3) + r_2(\mathbf{r}_3 \times \mathbf{r}_1) + r_3(\mathbf{r}_1 \times \mathbf{r}_2)$。
高斯 (Gauss) 方法
高斯方法利用了拉格朗日系数 ($f$ 和 $g$ 级数) 的近似，特别适用于三个观测点间隔很近（例如 $< 1^\circ$）的情况。
基本原理
根据二体动力学，任意时刻的位置可以表示为初始位置和速度的线性组合：
其中 $f_i, g_i$ 是关于时间间隔 $\tau_1 = t_1 - t_2$ 和 $\tau_3 = t_3 - t_2$ 的函数。
消去 $\mathbf{v}_2$，我们可以得到共线方程：
这再次证明了共面性。
求解步骤 (迭代法)
高斯方法的核心是求解关于 $r_2$ 的八阶方程（通常简化为迭代求解）。
- 时间间隔：$\tau_1 = t_1 - t_2, \tau_3 = t_3 - t_2$。
- 面积比近似：利用三角形面积比近似扇形面积比，初步估计 $c_1, c_3$。
- 求解 $r_2$：通过几何关系解出 $r_2$ 的初值。
- 修正 $f, g$：利用 $r_2$ 的估计值，计算更精确的 $f, g$ 系数（使用通用变量法或级数展开）。
- 更新速度：
- 迭代：重复步骤 4-5 直到收敛。
仅有角度数据的 IOD (Angles-Only)
在实际观测中（如光学望远镜），我们通常只能得到赤经 $\alpha$ 和赤纬 $\delta$，而不知道距离 $r$。 这时有 3 个时刻 $\times$ 2 个角度 = 6 个已知量，正好对应 6 个轨道根数。 经典解法包括：
- 拉普拉斯 (Laplace) 方法：利用 $\mathbf{r}$ 的导数关系。
- 高斯 (Gauss) 角度法：结合上述高斯方法，通过迭代猜测距离 $r_2$。
结语
初轨确定是连接观测数据与轨道理论的桥梁。吉布斯方法和高斯方法虽然古老，但至今仍是现代空间态势感知（SSA）系统的基础算法。随着雷达和光学观测精度的提高，基于卡尔曼滤波（Kalman Filter）的精密轨道确定 (POD) 已成为主流，但 IOD 提供的初值依然是滤波收敛的关键。
至此，我们的《轨道动力学》系列文章暂告一段落。从二体问题到摄动理论，从轨道机动到初轨确定，我们构建了一个完整的航天动力学知识框架。希望这些内容能为你探索星辰大海提供坚实的理论支持。