引言
当我们设计从地球飞往火星的探测器时，航天器实际上同时受到太阳、地球、火星以及其他行星的引力。这是一个复杂的 $N$ 体问题。然而，在工程设计中，我们通常采用一种简化的近似方法——圆锥曲线拼接法 (Patched Conic Approximation)。
该方法的核心思想是：将整个飞行过程分解为若干个由单一中心天体主导的二体运动阶段，并在边界处进行“拼接”。
影响球 (Sphere of Influence, SOI)
为了划分“势力范围”，我们引入影响球的概念。 对于一个质量为 $m$ 的行星绕质量为 $M$ 的恒星运动，其影响球半径 $r_{SOI}$ 定义为：
其中 $R$ 是行星到恒星的距离。
- 在 SOI 内部：忽略恒星引力，认为航天器仅受行星引力作用（行星为中心天体）。
- 在 SOI 外部：忽略行星引力，认为航天器仅受恒星引力作用（恒星为中心天体）。
例如，地球相对于太阳的 $r_{SOI} \approx 9.25 \times 10^5 \text{ km}$（约 145 个地球半径）。
星际转移的三个阶段
以地球飞往火星为例，整个过程分为三个阶段：
Phase 1: 地球逃逸段 (Geocentric Hyperbola)
航天器从地球停泊轨道（Parking Orbit）加速，获得足够的能量逃离地球引力束缚。
- 中心天体：地球。
- 轨道类型：双曲线 (Hyperbola)。
- 目标：在到达地球 SOI 边界（$r \to \infty$）时，具有特定的双曲线超速 (Hyperbolic Excess Velocity) $\mathbf{v}_{\infty, dep}$。
Phase 2: 日心转移段 (Heliocentric Transfer)
航天器飞出地球 SOI 后，进入绕太阳运行的轨道。
- 中心天体：太阳。
- 轨道类型：椭圆 (Ellipse)（通常是霍曼转移轨道）。
- 目标：从地球公转轨道转移到火星公转轨道。
Phase 3: 火星捕获段 (Martian Capture)
航天器进入火星 SOI，被火星引力捕获。
- 中心天体：火星。
- 轨道类型：双曲线（飞掠）或椭圆（若进行捕获制动）。
- 输入：相对于火星的双曲线超速 $\mathbf{v}_{\infty, arr}$。
详细计算流程
日心转移设计 (Phase 2)
首先设计日心转移轨道（例如霍曼转移）。 已知地球轨道半径 $R_E$ 和火星轨道半径 $R_M$。 转移半长轴 $a_{trans} = (R_E + R_M)/2$。 在地球出发点（近日点），航天器所需的日心速度为：
地球本身的公转速度为 $V_E = \sqrt{\mu_{Sun}/R_E}$。
地球逃逸设计 (Phase 1)
航天器需要获得的相对于地球的“无穷远”速度 $v_{\infty}$ 为：
(注意：这里假设是切向加速，标量相减。如果是三维情形，需用矢量 $\mathbf{v}_{\infty} = \mathbf{V}_{dep} - \mathbf{V}_E$)。
根据能量守恒，在地球停泊轨道（半径 $r_{park}$）上的点火速度 $v_{burn}$ 满足：
解得所需点火速度：
停泊轨道的圆周速度为 $v_{circ} = \sqrt{\mu_{Earth}/r_{park}}$。 因此，地球出发所需的 $\Delta v$ 为：
相位角 (Phase Angle)
为了确保航天器到达火星轨道时，火星恰好也在那里，地球和火星必须满足特定的相对位置。 对于霍曼转移，转移时间 $T_{trans} = \pi \sqrt{a_{trans}^3 / \mu_{Sun}}$。 在 $T_{trans}$ 时间内，火星运动的角度为 $\alpha_M = n_M T_{trans}$。 航天器扫过的角度为 $180^\circ$。 因此，发射时火星应领先地球的角度（相位角 $\phi$）为：
对于地火转移，$\phi \approx 44^\circ$。这意味着必须等到火星领先地球约 44 度时才能发射，这就是发射窗口的由来。
结语
圆锥曲线拼接法虽然是一种近似，但其精度对于初步任务设计已经足够。它将复杂的 $N$ 体问题解耦为简单的二体问题，使得我们可以手算星际旅行的燃料消耗和发射窗口。
至此，我们已经讨论了轨道动力学的正问题（已知轨道求位置）和设计问题（已知目标求轨道）。但在实际操作中，我们往往面临相反的问题：地面站收到了一堆雷达观测数据，如何反推卫星的轨道要素？这就是初轨确定问题，也是我们下一章的主题。