轨道动力学Vol.8 圆型限制性三体问题(CR3BP)与拉格朗日点

引言

二体模型是航天器动力学的基石，但在涉及地-月系统或日-地系统的深空探测任务中，仅考虑一个中心引力体已不足以描述真实的动力学环境。当航天器同时受到两个大质量天体（如地球和月球）的显著引力作用时，我们必须引入三体问题 (Three-Body Problem)。

由于一般三体问题无解析解，我们通常研究其简化模型：圆型限制性三体问题 (Circular Restricted Three-Body Problem, CR3BP)。本章将推导该模型下的运动方程，引入雅可比积分，并求解五个拉格朗日平衡点。

动力学模型构建

假设条件

限制性 (Restricted)：第三体（航天器）质量 $m$ 远小于两个主天体质量 $m_1, m_2$，即 $m \ll m_2 < m_1$。航天器对主天体的运动无影响。
圆型 (Circular)：两个主天体 $m_1$ 和 $m_2$ 围绕其共同质心做匀速圆周运动。

旋转坐标系 (Synodic Frame)

为了消除主天体运动的时间依赖性，我们建立一个随主天体旋转的坐标系 $O-xyz$：

原点 $O$：系统的质心 (Barycenter)。
$x$ 轴：始终指向 $m_2$（从 $m_1$ 指向 $m_2$）。
$z$ 轴：沿系统角动量方向（垂直于轨道平面）。
$y$ 轴：满足右手定则。

定义质量参数 $\mu = \frac{m_2}{m_1 + m_2}$。归一化处理：设 $m_1 + m_2 = 1$，主天体距离 $L=1$，角速度 $n=1$。则 $m_1$ 的位置为 $(-\mu, 0, 0)$，$m_2$ 的位置为 $(1-\mu, 0, 0)$。

运动微分方程

在旋转坐标系中，航天器受到两个主天体的引力以及惯性力（科里奥利力和离心力）。位置矢量 $\mathbf{r} = [x, y, z]^T$。速度矢量 $\mathbf{v} = [\dot{x}, \dot{y}, \dot{z}]^T$。角速度矢量 $\boldsymbol{\omega} = [0, 0, 1]^T$。

根据牛顿第二定律在旋转系下的形式：

$\ddot{\mathbf{r}} + 2\boldsymbol{\omega} \times \dot{\mathbf{r}} + \boldsymbol{\omega} \times (\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}) = -\nabla U_{grav}$

其中 $U_{grav} = -\frac{1-\mu}{r_1} - \frac{\mu}{r_2}$ 是引力势。 $r_1 = \sqrt{(x+\mu)^2 + y^2 + z^2}$ $r_2 = \sqrt{(x-(1-\mu))^2 + y^2 + z^2}$

展开分量形式，得到 CR3BP 的标量运动方程：

$\begin{cases} \ddot{x} - 2\dot{y} = \frac{\partial \Omega}{\partial x} \\ \ddot{y} + 2\dot{x} = \frac{\partial \Omega}{\partial y} \\ \ddot{z} = \frac{\partial \Omega}{\partial z} \end{cases}$

这里引入了有效势能函数 (Effective Potential) $\Omega(x, y, z)$（注意：不同教材对 $\Omega$ 的符号定义可能相反）：

$\Omega = \frac{1}{2}(x^2 + y^2) + \frac{1-\mu}{r_1} + \frac{\mu}{r_2}$

第一项 $\frac{1}{2}(x^2 + y^2)$ 来自离心力势能，后两项为引力势能。

雅可比积分 (Jacobi Integral)

CR3BP 系统虽然没有动量守恒和能量守恒，但存在一个唯一的运动积分——雅可比积分。

将运动方程分别乘以 $\dot{x}, \dot{y}, \dot{z}$ 并相加，积分可得：

$v^2 = 2\Omega - C$

或者写成：

$C = 2\Omega(x, y, z) - (\dot{x}^2 + \dot{y}^2 + \dot{z}^2)$

其中 $C$ 是雅可比常数 (Jacobi Constant)。

物理意义：在给定的能量水平（由 $C$ 确定）下，航天器的运动被限制在满足 $2\Omega \ge C$ 的区域内（因为速度平方 $v^2 \ge 0$）。边界曲面 $2\Omega(x, y, z) = C$ 被称为零速度面 (Zero Velocity Surfaces, ZVS)。通过分析 ZVS，我们可以判断航天器是否能从地球飞向月球，或者是否被束缚在某个区域。

拉格朗日点 (Lagrange Points)

系统的平衡点是指航天器在旋转坐标系中速度和加速度均为零的点。令 $\dot{x}=\dot{y}=\dot{z}=0$ 和 $\ddot{x}=\ddot{y}=\ddot{z}=0$，则平衡点满足：

$\nabla \Omega = \mathbf{0} \implies \begin{cases} \frac{\partial \Omega}{\partial x} = 0 \\ \frac{\partial \Omega}{\partial y} = 0 \\ \frac{\partial \Omega}{\partial z} = 0 \end{cases}$

由 $\frac{\partial \Omega}{\partial z} = -\frac{1-\mu}{r_1^3}z - \frac{\mu}{r_2^3}z = 0$ 可知，平衡点必须位于 $z=0$ 平面（轨道平面）内。

求解 $x, y$ 方程组，可得到 5 个解，即 5 个拉格朗日点：

共线平动点 ($L_1, L_2, L_3$)

这三个点位于两个主天体的连线（$x$ 轴）上，即 $y=0$。

$L_1$：位于 $m_1$ 和 $m_2$ 之间。是通往月球的门户。
$L_2$：位于 $m_2$ 外侧。是深空探测望远镜（如 JWST）的理想驻泊点。
$L_3$：位于 $m_1$ 外侧（背对 $m_2$）。

它们是动力学不稳定的鞍点，需要通过主动控制（Station Keeping）来维持轨道。

三角平动点 ($L_4, L_5$)

这两个点与 $m_1, m_2$ 构成等边三角形。

$x = \frac{1}{2} - \mu$
$y = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$ 在满足 $\mu < \mu_{crit} \approx 0.0385$ 的条件下（地月系满足），这两个点是线性稳定的。特洛伊小行星群就聚集在木星-太阳系的 $L_4, L_5$ 点。

结语

CR3BP 模型揭示了比二体问题丰富得多的动力学现象，如晕轨道 (Halo Orbit)、李萨如轨道 (Lissajous Orbit) 和低能量转移 (Low Energy Transfer)。掌握雅可比积分和拉格朗日点，是设计地月空间任务（如 Artemis 计划）和深空探测任务（如 James Webb）的前提。

下一章，我们将探讨另一种处理多体问题的方法——圆锥曲线拼接法，这是设计行星际航行（如飞往火星）的标准工程方法。

updated at 2025-11-21

# 轨道动力学 # 三体问题 # 拉格朗日点