引言
在之前的章节中，我们假设地球是一个质量均匀分布的完美球体，卫星只受中心引力作用。这种理想模型下的轨道是完美的椭圆，且轨道要素 $(a, e, i, \Omega, \omega, M)$ 都是常数（除了 $M$ 随时间线性变化）。
然而，真实的地球是扁的（赤道隆起），大气有阻力，月球和太阳也有引力。这些额外的微小力被称为摄动 (Perturbations)。虽然它们很小，但长期积累会导致轨道发生显著变化。本章我们将重点讨论对近地轨道影响最大的摄动项——地球非球形引力 J2 项。
地球引力势函数与 J2 项
地球不是完美的球体，而是一个旋转椭球体。赤道半径比极半径大约 21 km。这意味着赤道附近的引力比两极稍大。
为了描述这种非均匀引力场，我们将地球引力势函数 $U$ 展开为球谐函数级数：
忽略经度依赖项（扇谐项和田谐项），仅考虑纬向项（Zonal Harmonics），且保留最大的 $J_2$ 项，势函数简化为：
其中：
- $R_E$ 是地球赤道半径。
- $\phi$ 是地心纬度（$\sin \phi = z/r$）。
- $J_2 \approx 1.0826 \times 10^{-3}$。
由此产生的摄动加速度 $\mathbf{a}_{J2} = \nabla (U - \frac{\mu}{r})$ 在惯性系下的分量为：
J2 摄动的主要效应
$J_2$ 摄动产生的力并不指向地心，这导致轨道平面和轨道形状发生缓慢的进动。利用拉格朗日行星方程，我们可以推导出轨道要素的长期变化率（Secular Variations）。
升交点进动 (Nodal Regression)
轨道平面会绕着地轴旋转，导致升交点赤经 $\Omega$ 发生变化：
- 对于顺行轨道 ($i < 90^\circ$)，$\dot{\Omega} < 0$，升交点西移。
- 对于逆行轨道 ($i > 90^\circ$)，$\dot{\Omega} > 0$，升交点东移。
- 对于极轨道 ($i = 90^\circ$)，$\dot{\Omega} = 0$，轨道面不动。
近地点幅角进动 (Apsidal Rotation)
椭圆的长轴会在轨道平面内旋转，导致近地点幅角 $\omega$ 发生变化：
- 当 $i < 63.4^\circ$ 或 $i > 116.6^\circ$ 时，$\dot{\omega} > 0$，近地点沿运动方向旋转。
- 当 $i \approx 63.4^\circ$ 时，$\dot{\omega} = 0$，近地点位置固定。
利用 J2 摄动设计的特殊轨道
工程师们并没有把摄动视为麻烦，反而利用它设计出了独特的轨道类型。
太阳同步轨道 (Sun-Synchronous Orbit, SSO)
SSO 的特点是轨道平面与太阳的相对角度保持不变，即升交点进动的角速度 $\dot{\Omega}$ 恰好等于地球绕太阳公转的角速度（约 $0.9856^\circ/\text{day}$）。 利用 $\dot{\Omega}$ 的公式，我们可以算出所需的倾角 $i$。对于高度 800 km 的轨道，$i$ 大约为 $98.6^\circ$（略微逆行）。 应用：遥感卫星、气象卫星。它们每天在同一地方时经过同一地点，光照条件一致，便于图像对比。
闪电轨道 (Molniya Orbit)
为了覆盖高纬度地区（如俄罗斯），需要卫星在远地点（高纬度上空）停留很长时间。这需要大偏心率轨道。 然而，如果 $\omega$ 发生变化，远地点就会跑到南半球去。为了锁住远地点在北半球最高纬度，我们选择 $i = 63.4^\circ$。 此时 $\dot{\omega} = 0$，近地点和远地点的位置被“冻结”了。 应用：苏联/俄罗斯的通信卫星。
结语
摄动理论告诉我们，精确的轨道预报不能只靠二体模型。除了 $J_2$，大气阻力会使轨道衰减，日月引力会改变高轨卫星的倾角。掌握这些规律，我们才能让卫星在预定的轨道上长期稳定运行。
下一章，我们将把目光投向更深远的宇宙，探讨当存在两个大质量天体（如地球和月球）时，航天器该如何运动——这就是三体问题。