引言
在前面的章节中，我们讨论了如何从轨道要素推算位置（开普勒预报）。但在星际任务设计或导弹拦截中，我们面临的是一个边值问题 (Boundary Value Problem)：
已知出发点 $\mathbf{r}_1$、到达点 $\mathbf{r}_2$ 以及飞行时间 $\Delta t$，求连接这两点的轨道（即求初速度 $\mathbf{v}_1$）。
这就是著名的兰伯特问题 (Lambert’s Problem)。它是所有轨道交会、拦截和星际转移任务设计的数学基础。
兰伯特问题的几何描述
给定：
- $\mathbf{r}_1$: $t_1$ 时刻的位置矢量。
- $\mathbf{r}_2$: $t_2$ 时刻的位置矢量。
- $\Delta t = t_2 - t_1$: 转移时间。
求解：
- $\mathbf{v}_1$: $t_1$ 时刻的速度矢量。
- $\mathbf{v}_2$: $t_2$ 时刻的速度矢量。
转移角的确定
首先，我们可以通过点积确定转移角度 $\Delta \nu$：
注意 $\Delta \nu$ 有两个解（顺行或逆行，短弧或长弧）。通常根据 $\mathbf{r}_1 \times \mathbf{r}_2$ 的方向（即轨道倾角方向）来确定唯一的 $\Delta \nu$。
兰伯特方程
兰伯特指出，转移时间 $\Delta t$ 仅与半长轴 $a$、弦长 $c = |\mathbf{r}_2 - \mathbf{r}_1|$ 以及两点半径之和 $r_1 + r_2$ 有关。
对于椭圆轨道，兰伯特方程的通用形式为：
其中 $\alpha$ 和 $\beta$ 是与几何形状相关的辅助角。
求解算法：通用变量法 (Universal Variables)
由于兰伯特方程也是超越方程，且涉及圆锥曲线类型的判断（椭圆、双曲线或抛物线），直接求解比较困难。现代算法通常采用通用变量法。
核心思想
引入一个通用变量 $z$（与 $1/a$ 相关）。
- $z > 0$: 椭圆轨道
- $z < 0$: 双曲线轨道
- $z = 0$: 抛物线轨道
我们将 $\Delta t$ 表示为 $z$ 的函数，并利用 Stumpff 函数 $C(z)$ 和 $S(z)$ 来统一表达不同类型的轨道。
迭代过程
- 猜测一个 $z$ 值（例如 $z=0$）。
- 计算对应的飞行时间 $t_{calc}(z)$。
- 比较 $t_{calc}$ 与目标时间 $\Delta t$。
- 利用牛顿法修正 $z$，直到收敛。
一旦求出收敛的 $z$，我们就可以确定半长轴 $a$ 和其他轨道参数，进而利用拉格朗日系数 ($f$ 和 $g$ 函数) 求出速度矢量。 在通用变量法中，拉格朗日系数的表达式为：
(此处仅展示形式，具体计算需涉及 Stumpff 函数 $C(z), S(z)$)
最终速度矢量为：
其中 $\dot{f} = \frac{\sqrt{\mu}}{r_1 r_2} U_1(z) (\dots)$，$\dot{g} = 1 - \frac{U_2(z)}{r_2}$。
应用场景
星际转移 (Porkchop Plot)
在设计地球飞往火星的轨道时，我们会在一系列出发日期和到达日期之间进行网格搜索。对于每一对日期，我们都知道地球的位置 $\mathbf{r}_E$ 和火星的位置 $\mathbf{r}_M$，以及飞行时间 $\Delta t$。 对每一点调用兰伯特求解器，得到所需的 $C_3$ 能量（即 $v_{\infty}^2$）。将这些结果绘制成等高线图，就得到了著名的猪排图 (Porkchop Plot)，用于寻找最佳发射窗口。
轨道拦截与交会
- 拦截：目标是让追踪器在 $t_2$ 时刻与目标重合，不考虑相对速度。这就是直接解兰伯特问题。
- 交会：不仅位置重合，速度也要匹配。这通常分为两步：先用兰伯特制导到达目标附近（相位调整），再进行末端机动消除相对速度。
结语
兰伯特问题是连接“几何”与“时间”的桥梁，它让我们可以根据任务需求（时间约束）反推轨道参数。至此，我们讨论的都是理想的二体模型。然而，真实的宇宙并不完美，地球不是圆的，还有大气阻力。下一章，我们将进入摄动理论的世界。