引言
在前面的章节中，我们主要关注轨道的几何形状（$r$ 与 $\nu$ 的关系）。但在实际任务中，我们更关心时间：卫星何时经过地面站？何时到达近地点？
这就涉及到了轨道动力学中最著名的超越方程——开普勒方程 (Kepler’s Equation)。它建立了时间 $t$ 与位置之间的联系。由于该方程无法解析求解（即无法直接写出 $\nu = f(t)$），我们需要借助数值方法。
三个“近点角”
为了推导开普勒方程，我们需要引入三个辅助角度：
真近点角 (True Anomaly, $\nu$ 或 $f$)： 卫星在轨道平面内相对于近地点的真实几何角度。这是我们在轨道方程 $r = \frac{p}{1+e\cos\nu}$ 中使用的角度。
偏近点角 (Eccentric Anomaly, $E$)： 这是一个辅助几何量。对于椭圆轨道，我们将椭圆外接一个辅助圆（半径为 $a$）。将卫星位置 $P$ 垂直投影到辅助圆上得到点 $P’$。$P’$ 与圆心的连线与近地点方向的夹角即为 $E$。 $E$ 与 $\nu$ 的关系为：
平近点角 (Mean Anomaly, $M$)： 这是一个动力学量，定义为假想的“平卫星”以恒定角速度 $n$（平运动角速度）运行所转过的角度。
其中 $t_p$ 是过近地点时刻，$n = \sqrt{\mu/a^3}$。
开普勒方程的推导
开普勒利用几何面积法推导出了 $M$ 与 $E$ 之间的关系，这就是著名的开普勒方程：
这个方程极其简洁，却极其“顽固”。
- 正问题：已知 $E$，求 $M$。直接代入公式即可，非常简单。
- 逆问题：已知时间 $t$（即已知 $M$），求位置（即求 $E$，进而求 $\nu$）。这是一个超越方程求解问题，无法用初等函数表达 $E(M)$。
数值解法：牛顿迭代法
为了从 $M$ 解出 $E$，最常用的方法是牛顿-拉夫逊迭代法 (Newton-Raphson Method)。
定义函数：
我们需要找到 $E$ 的根。 $f(E)$ 对 $E$ 的导数为：
迭代公式：
初始猜测值 $E_0$：
- 对于小偏心率 ($e < 0.8$)，通常取 $E_0 = M$。
- 对于大偏心率，可以取 $E_0 = \pi$。
通常只需迭代 3-5 次，误差即可收敛到机器精度（$10^{-15}$）级别。
算法流程总结
已知卫星的轨道要素 $(a, e, t_p)$ 和当前时刻 $t$，求卫星位置 $\mathbf{r}$：
- 计算平运动角速度：$n = \sqrt{\mu/a^3}$。
- 计算平近点角：$M = n(t - t_p)$。
- 求解开普勒方程：利用牛顿迭代法解 $M = E - e \sin E$，得到偏近点角 $E$。
- 计算真近点角：利用 $\tan \frac{\nu}{2} = \sqrt{\frac{1+e}{1-e}} \tan \frac{E}{2}$ 求出 $\nu$。
- 计算距离：$r = a(1 - e \cos E)$。
- 推导：$r = \frac{a(1-e^2)}{1+e\cos\nu}$，代入 $\cos\nu = \frac{\cos E - e}{1 - e \cos E}$ 可得。
- 计算位置与速度 (PQW系)：
- 转换到惯性系：利用上一章介绍的 $PQW \to IJK$ 旋转矩阵，得到 $\mathbf{r}_{IJK}$。
结语
开普勒方程连接了时间与空间，是轨道预报（Orbit Propagation）的核心。然而，上述讨论主要针对“已知轨道求位置”的问题。在实际操作中，我们经常面临相反的问题：已知两点位置和飞行时间，求轨道。这就是著名的兰伯特问题，我们将在下一章详细探讨。