轨道动力学Vol.4 轨道平面改变与混合机动

引言

在上一章中，我们讨论了霍曼转移，这是一种在同一平面内改变轨道大小的高效方法。然而，现实中的任务往往更为复杂。例如，从拜科努尔航天发射场（纬度约 $46^\circ$）发射的卫星，其初始轨道倾角至少为 $46^\circ$。若要将其送入地球静止轨道（倾角 $0^\circ$），就必须进行轨道平面改变 (Plane Change Maneuver)。

改变轨道平面通常需要消耗巨大的能量，因此被称为“昂贵的机动”。本章将探讨如何计算平面改变的 $\Delta v$，以及如何通过混合机动 (Combined Maneuver) 来节省燃料。

单纯平面改变 (Simple Plane Change)

单纯平面改变是指仅改变轨道倾角 $i$ 或升交点赤经 $\Omega$，而不改变轨道的大小（$a$）和形状（$e$）。

几何分析

假设卫星在圆轨道上运行，速度大小为 $v$。我们需要将速度矢量 $\mathbf{v}_{old}$ 旋转一个角度 $\theta$（即平面改变角），变为 $\mathbf{v}_{new}$，且 $|\mathbf{v}_{old}| = |\mathbf{v}_{new}| = v$。

根据余弦定理，所需的速度增量 $\Delta v$ 为：

$\Delta v = \sqrt{v^2 + v^2 - 2v^2 \cos \theta} = 2v \sin \left( \frac{\theta}{2} \right)$

最佳机动位置

观察公式可知，$\Delta v$ 与当前速度 $v$ 成正比。为了节省燃料，我们应该选择在速度最小的地方进行平面改变。

对于椭圆轨道，应在远地点 (Apogee) 进行机动。
如果要改变倾角 $i$，必须在轨道与赤道面的交点（即升交点或降交点）处点火。
如果要改变升交点赤经 $\Omega$，则必须在极点（纬度最高处）附近机动（但这通常很复杂，改变 $\Omega$ 一般通过发射时机的选择或利用摄动来实现）。

混合机动 (Combined Maneuver)

在实际任务中（如GTO到GEO的转移），我们往往既需要改变轨道高度（霍曼转移），又需要改变轨道倾角。

分步机动 vs. 混合机动

分步机动：先在近地点加速进入转移椭圆，到达远地点后，先进行平面改变，再加速入轨。这需要三次点火（或两次，如果平面改变和圆化分开做）。
混合机动：在远地点点火时，同时改变速度的大小和方向。

混合机动的 $\Delta v$ 计算

假设在远地点，转移椭圆的速度为 $v_t$（较小），目标圆轨道的速度为 $v_f$（较大），需要改变的倾角为 $\Delta i$。我们希望一步到位，将速度矢量从 $\mathbf{v}_t$ 变为 $\mathbf{v}_f$（两者夹角为 $\Delta i$）。

根据余弦定理：

$\Delta v_{combined} = \sqrt{v_t^2 + v_f^2 - 2 v_t v_f \cos(\Delta i)}$

为什么混合机动更优？

三角形的两边之和大于第三边。

$|\Delta \mathbf{v}_{combined}| < |\Delta \mathbf{v}_{size}| + |\Delta \mathbf{v}_{plane}|$

通过矢量合成，我们将“改变大小”和“改变方向”的两个 $\Delta v$ 合并为一个，从而节省了燃料。

最佳平面改变分配 (Optimal Split) 如果必须在近地点和远地点都进行一部分平面改变，应该如何分配？设总平面改变角为 $\theta$，在近地点改变 $\theta_1$，在远地点改变 $\theta_2 = \theta - \theta_1$。总 $\Delta v$ 为：

$\Delta v_{total} = \sqrt{v_{p1}^2 + v_{p2}^2 - 2v_{p1}v_{p2}\cos\theta_1} + \sqrt{v_{a2}^2 + v_{c2}^2 - 2v_{a2}v_{c2}\cos(\theta-\theta_1)}$

对 $\theta_1$ 求导并令其为零，可以求出最优分配。一般来说，由于远地点速度 $v_a$ 远小于近地点速度 $v_p$，且 $\Delta v \propto v \sin(\theta/2)$，因此绝大部分（甚至全部）平面改变都应安排在速度最小的远地点进行。只有在极少数特殊轨道构型下（如小倾角改变），才考虑在近地点分担一小部分。

经典案例：GTO to GEO 地球同步转移轨道 (GTO) 的远地点速度 $v_t \approx 1.6 \text{ km/s}$，地球静止轨道 (GEO) 的速度 $v_f \approx 3.07 \text{ km/s}$。如果在远地点仅做平面改变（假设 $\Delta i = 28.5^\circ$），$\Delta v \approx 0.8 \text{ km/s}$。如果仅做圆化机动，$\Delta v \approx 1.47 \text{ km/s}$。分步做总和 $\approx 2.27 \text{ km/s}$。而采用混合机动，$\Delta v_{combined} \approx 1.8 \text{ km/s}$。节省了近 $0.5 \text{ km/s}$ 的 $\Delta v$，这对于卫星寿命至关重要。

最佳平面改变分配

如果必须在近地点和远地点都进行一部分平面改变，应该如何分配？一般来说，由于远地点速度更小，绝大部分（甚至全部）平面改变都应安排在远地点进行。只有在极少数特殊轨道构型下，才考虑在近地点分担一小部分倾角改变。

结语

至此，我们已经掌握了轨道机动的两大基石：霍曼转移和平面改变。结合两者，我们就可以设计从任意低地球轨道前往地球静止轨道的路径。但在这一切计算中，我们都回避了一个问题：时间。卫星在轨道上运行一段时间到底需要多久？下一章，我们将通过开普勒方程来解决这个问题。

updated at 2025-11-21

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