引言
在太空中，我们无法像在地面上那样随意“转弯”或“加速”。航天器的每一次变轨都需要消耗宝贵的燃料。因此，如何以最少的燃料消耗（即最小的 $\Delta V$）从一个轨道转移到另一个轨道，是任务设计的核心问题。
本章我们将探讨最基础的共面轨道转移：霍曼转移 (Hohmann Transfer) 及其变体 双椭圆转移 (Bi-Elliptic Transfer)。
脉冲机动假设
在初步设计阶段，我们通常假设发动机的点火时间极短，相对于轨道周期可以忽略不计。这种假设称为脉冲机动 (Impulsive Maneuver)。
在脉冲假设下：
- 位置不变：$\mathbf{r}$ 在机动瞬间保持不变。
- 速度突变：速度矢量发生瞬时跳变，$\mathbf{v}_{new} = \mathbf{v}_{old} + \Delta \mathbf{v}$。
- 燃料消耗：由齐奥尔科夫斯基火箭方程决定，燃料消耗量直接取决于 $|\Delta \mathbf{v}|$ 的标量和。
霍曼转移 (Hohmann Transfer)
霍曼转移是 Walter Hohmann 在 1925 年提出的，用于在两个共面圆轨道之间进行转移的最省能量方式（在大多数情况下）。
几何构型
霍曼转移轨道是一个与内圆轨道和外圆轨道都相切的椭圆轨道。
- 近地点：切于内圆轨道（半径 $r_1$）。
- 远地点：切于外圆轨道（半径 $r_2$）。
因此，转移椭圆的半长轴 $a_{trans}$ 为：
计算步骤 (以低轨 $r_1$ 到高轨 $r_2$ 为例)
第一次点火 (近地点加速)： 卫星在 $r_1$ 处，初速度为圆轨道速度 $v_{c1} = \sqrt{\mu/r_1}$。 目标速度是转移椭圆在近地点的速度 $v_{p,trans}$。根据活力公式：
所需的速度增量：
第二次点火 (远地点加速)： 卫星沿椭圆滑行至 $r_2$ 处，此时速度衰减为远地点速度 $v_{a,trans}$：
目标速度是外圆轨道的速度 $v_{c2} = \sqrt{\mu/r_2}$。 所需的速度增量：
总开销：
双椭圆转移 (Bi-Elliptic Transfer)
直觉告诉我们，两点之间直线最短，霍曼转移似乎应该是最优的。但在某些极端情况下，绕远路反而更省油。这就是双椭圆转移。
机动过程
双椭圆转移包含三次脉冲，使用两个中间椭圆：
- 第一次点火：在 $r_1$ 处加速，进入一个远地点极高（$r_b \gg r_2$）的第一个椭圆。
- 第二次点火：在极远的远地点 $r_b$ 处再次加速，进入近地点为 $r_2$ 的第二个椭圆。
- 第三次点火：在 $r_2$ 处减速（或加速，视情况而定），入轨目标圆轨道。
为什么会更省油？
这利用了奥伯特效应 (Oberth Effect) 的反面逻辑：在速度越低的地方改变速度（尤其是改变倾角或提升近地点），效率越高。 在 $r_b$ 处，卫星速度极低，此时只需很小的 $\Delta v$ 就能显著改变轨道的近地点（从 $r_1$ 抬升到 $r_2$）。
霍曼 vs 双椭圆
令目标轨道与初始轨道的半径比为 $R = r_2 / r_1$。我们比较两种转移方式的总速度增量 $\Delta v$。
对于霍曼转移，归一化后的 $\Delta v_H$ 为：
对于双椭圆转移（假设中间远地点半径 $r_b \to \infty$），其极限 $\Delta v_{BE}$ 为：
通过数值求解方程 $\Delta v_H(R) = \Delta v_{BE}(R)$，我们可以得到临界比值：
- $R < 11.94$：霍曼转移总是更优。
- $11.94 < R < 15.58$：双椭圆转移可能更优，取决于中间点 $r_b$ 的选取。如果 $r_b$ 足够大，双椭圆更省油。
- $R > 15.58$：只要 $r_b > r_2$，双椭圆转移一定比霍曼转移省油。
物理本质： 双椭圆转移之所以能省油，是因为它利用了奥伯特效应 (Oberth Effect) 的极致。虽然它多跑了很远的路（去 $r_b$），但在 $r_b$ 处速度极低，几乎为零。在这里进行轨道平面的改变或近地点的抬升，所需的能量极小。它通过“以时间换能量”的策略，绕过了霍曼转移在 $r_2$ 处直接入轨的高昂代价。
代价：双椭圆转移的飞行时间（Time of Flight）非常长，通常是霍曼转移的数倍甚至无穷大（若 $r_b \to \infty$）。因此在载人航天等对时间敏感的任务中极少使用。
结语
霍曼转移是轨道力学的入门必修课，它展示了能量与轨道几何的完美结合。但在实际任务中，我们往往不仅需要改变轨道高度，还需要改变轨道倾角（例如从肯尼迪航天中心发射进入地球静止轨道）。下一章，我们将讨论昂贵的平面改变机动。