引言
在上一篇文章中，我们知道二体运动的轨迹是平面内的圆锥曲线。然而，航天器是在三维空间中运动的。为了唯一确定卫星在三维空间中的轨道和位置，我们需要一组参数，这就是经典轨道要素 (Classical Orbital Elements, COE)，通常也称为开普勒要素。
对于任务规划者来说，COE（如“高度”、“倾角”）比笛卡尔坐标系下的位置和速度矢量 $(\mathbf{r}, \mathbf{v})$ 更直观；而对于计算机积分推演，状态矢量 $(\mathbf{r}, \mathbf{v})$ 则更加方便。因此，熟练掌握两者之间的转换是轨道动力学的基本功。
六大经典轨道要素
三维空间中的二体问题有3个自由度的位置和3个自由度的速度，共6个独立变量。因此，COE也包含6个参数：
描述轨道形状与大小
- 半长轴 (Semi-major Axis, $a$): 描述轨道的大小。对于椭圆轨道，它决定了轨道能量和周期。
- 偏心率 (Eccentricity, $e$): 描述轨道的形状（圆、椭圆、抛物线或双曲线）。
描述轨道平面在空间中的方位
为了描述轨道平面，我们需要定义一个惯性参考系，通常使用地心赤道惯性系 (ECI)：$X$轴指向春分点，$Z$轴指向北极，$Y$轴构成右手系。
- 轨道倾角 (Inclination, $i$): 轨道平面的法向量 $\mathbf{h}$ 与惯性系 $Z$ 轴（北极方向）的夹角。
- $0^\circ \le i < 90^\circ$: 顺行轨道 (Prograde)
- $90^\circ < i \le 180^\circ$: 逆行轨道 (Retrograde)
- 升交点赤经 (Right Ascension of the Ascending Node, $\Omega$ 或 RAAN): 从春分点方向（$X$轴）逆时针量到升交点矢量 $\mathbf{n}$ 的角度。升交点是卫星从南半球穿过赤道面进入北半球的点。
描述轨道在平面内的朝向
- 近地点幅角 (Argument of Perigee, $\omega$): 在轨道平面内，从升交点 $\mathbf{n}$ 顺着运动方向量到近地点矢量 $\mathbf{e}$ 的角度。它定义了椭圆在轨道平面内的旋转方向。
描述卫星在轨道上的位置
- 真近点角 (True Anomaly, $\nu$ 或 $f$): 在轨道平面内，从近地点 $\mathbf{e}$ 顺着运动方向量到卫星位置矢量 $\mathbf{r}$ 的角度。这是一个随时间快速变化的量。
从状态矢量 $(\mathbf{r}, \mathbf{v})$ 求 COE
已知惯性系下的位置 $\mathbf{r}$ 和速度 $\mathbf{v}$，求解六根数的算法流程如下：
Step 1: 计算基础辅助矢量
- 距离 $r = |\mathbf{r}|$，速度 $v = |\mathbf{v}|$
- 角动量矢量 $\mathbf{h} = \mathbf{r} \times \mathbf{v}$，及其模长 $h$
- 交点矢量 $\mathbf{n} = \mathbf{K} \times \mathbf{h}$，其中 $\mathbf{K} = [0, 0, 1]^T$ 是 $Z$ 轴单位矢量。$\mathbf{n}$ 指向升交点方向。
- 偏心率矢量 $\mathbf{e} = \frac{1}{\mu} [(v^2 - \frac{\mu}{r})\mathbf{r} - (\mathbf{r} \cdot \mathbf{v})\mathbf{v}]$
Step 2: 计算形状与大小 ($a, e$)
- 偏心率 $e = |\mathbf{e}|$
- 比机械能 $\mathcal{E} = \frac{v^2}{2} - \frac{\mu}{r}$
- 半长轴 $a = -\frac{\mu}{2\mathcal{E}}$ (若 $e \neq 1$)
Step 3: 计算空间方位 ($i, \Omega, \omega$)
- 倾角 $i$: $\cos i = \frac{h_z}{h}$，即 $i = \arccos(\frac{h_z}{h})$。($0 \le i \le 180^\circ$)
- RAAN $\Omega$: $\cos \Omega = \frac{n_x}{n}$。
- 若 $n_y > 0$，$\Omega = \arccos(\frac{n_x}{n})$
- 若 $n_y < 0$，$\Omega = 360^\circ - \arccos(\frac{n_x}{n})$
- 近地点幅角 $\omega$: $\cos \omega = \frac{\mathbf{n} \cdot \mathbf{e}}{n e}$。
- 若 $e_z > 0$，$\omega = \arccos(\dots)$
- 若 $e_z < 0$，$\omega = 360^\circ - \arccos(\dots)$
Step 4: 计算真近点角 ($\nu$)
- $\cos \nu = \frac{\mathbf{e} \cdot \mathbf{r}}{e r}$。
- 若 $\mathbf{r} \cdot \mathbf{v} > 0$ (飞离近地点)，$\nu = \arccos(\dots)$
- 若 $\mathbf{r} \cdot \mathbf{v} < 0$ (飞向近地点)，$\nu = 360^\circ - \arccos(\dots)$
注意：当 $e=0$ (圆轨道) 或 $i=0$ (赤道轨道) 时，上述某些定义（如 $\mathbf{n}$ 或 $\mathbf{e}$）会退化或无意义。这时需要使用替代参数，如“纬度幅角”等。
从 COE 求状态矢量 $(\mathbf{r}, \mathbf{v})$
这是一个逆过程，通常分为两步：先在近地点坐标系 (Perifocal Frame, PQW) 中计算，然后旋转到地心赤道惯性系 (ECI, IJK)。
Step 1: 在 PQW 系中计算 $(\mathbf{r}_{PQW}, \mathbf{v}_{PQW})$ PQW系定义为：$P$轴指向近地点，$W$轴沿角动量方向，$Q$轴构成右手系。 在此坐标系中，卫星位置和速度公式非常简单：
其中 $p = a(1-e^2)$。
Step 2: 旋转矩阵 $R_{PQW \to IJK}$ 我们需要进行三次欧拉角旋转，将矢量从 PQW 系变换到 IJK 系。旋转顺序为 3-1-3 序列：
- 绕 $Z$ 轴旋转 $-\omega$（将 $P$ 轴旋转到升交点线上）
- 绕 $X$ 轴旋转 $-i$（将轨道面旋转到赤道面上）
- 绕 $Z$ 轴旋转 $-\Omega$（将升交点线旋转到 $X$ 轴上）
对应的旋转矩阵分别为：
总的旋转矩阵（方向余弦矩阵）$\mathbf{R}_{PQW \to IJK} = \mathbf{R}_3(-\Omega) \mathbf{R}_1(-i) \mathbf{R}_3(-\omega)$ 为：
(简写：$c=\cos, s=\sin$)
最终得到惯性系下的状态矢量：
特殊情况处理 (Singularities)
上述算法在某些特定轨道下会出现奇异性（分母为零或角度无定义）：
圆轨道 ($e \approx 0$)：近地点无定义，$\omega$ 和 $\nu$ 无意义。
- 替代方案：使用纬度幅角 (Argument of Latitude) $u = \omega + \nu$。
- 位置计算直接使用 $u$：$\mathbf{r} = r [\cos u \cdot \mathbf{n} + \sin u \cdot (\mathbf{h} \times \mathbf{n})/h]$。
赤道轨道 ($i \approx 0$ 或 $180^\circ$)：升交点无定义，$\Omega$ 和 $\omega$ 无意义。
- 替代方案：使用近地点经度 (Longitude of Perigee) $\varpi = \Omega + \omega$。
圆赤道轨道：
- 替代方案：使用真经度 (True Longitude) $\lambda = \Omega + \omega + \nu$。
在编写通用的轨道转换代码时，必须通过判断 $e$ 和 $i$ 的大小（设置阈值，如 $10^{-6}$）来处理这些特殊分支。
结语
COE 与 $(\mathbf{r}, \mathbf{v})$ 的互转是编写轨道仿真软件的第一步。理解这些参数的几何意义，有助于我们在脑海中构建出卫星运行的动态图像。下一章，我们将利用这些知识，探讨如何改变轨道的大小——即霍曼转移。