引言
航天器轨道动力学（Astrodynamics）是研究人造天体在引力场中运动规律的学科。一切复杂的任务设计，从近地轨道的交会对接到深空的引力弹弓，其基石都是最简单的模型——二体问题（Two-Body Problem）。
虽然开普勒在第17世纪初就基于第谷的观测数据总结出了行星运动三大定律，但直到牛顿提出万有引力定律，我们才真正拥有了从第一性原理推导这些规律的数学工具。本文将从牛顿力学出发，推导二体运动微分方程，并揭示其守恒量与轨道几何本质。
二体运动微分方程
假设宇宙中仅有两个质点，质量分别为 $M$ 和 $m$，且 $M \gg m$（例如地球与卫星）。它们之间的相互作用力仅为万有引力。
设 $M$ 和 $m$ 在惯性系中的位置矢量分别为 $\mathbf{R}$ 和 $\mathbf{r}$。根据牛顿第二定律和万有引力定律：
我们通常不关心它们在绝对惯性系中的位置，而是关心卫星相对于中心天体的位置。定义相对位置矢量 $\mathbf{r}_{rel} = \mathbf{r} - \mathbf{R}$。为了简化符号，下文用 $\mathbf{r}$ 表示相对位置矢量。
将两式相减（$\ddot{\mathbf{r}} - \ddot{\mathbf{R}}$），并利用 $M \gg m$ 的假设（即 $M+m \approx M$），我们可以得到描述相对运动的二体微分方程：
其中 $\mu = GM$ 为中心天体的引力常数（对于地球，$\mu \approx 3.986 \times 10^5 \text{ km}^3/\text{s}^2$），$r = |\mathbf{r}|$ 为相对距离。
这个看似简单的二阶非线性微分方程，蕴含了轨道动力学的所有奥秘。
积分常数与守恒律
为了求解上述方程，我们寻找运动中的守恒量（积分常数）。
角动量守恒
将二体方程两边同时左乘（叉乘）位置矢量 $\mathbf{r}$：
由于 $\mathbf{r} \times \mathbf{r} = \mathbf{0}$，第二项消失。第一项可以写成全微分形式：
这意味着比角动量（Specific Angular Momentum）$\mathbf{h}$ 是一个常矢量：
物理意义：
- 轨道平面固定：由于 $\mathbf{r}$ 和 $\mathbf{v}$ 始终垂直于恒定矢量 $\mathbf{h}$，因此轨道运动始终被限制在一个固定的平面内。
- 开普勒第二定律：$\mathbf{h}$ 的模长 $h = |\mathbf{r} \times \mathbf{v}| = r v_\perp$。在极坐标系下，扫过的面积速率 $\frac{dA}{dt} = \frac{1}{2}h = \text{const}$，即“相等时间内扫过相等面积”。
能量守恒 (Vis-Viva Equation)
将二体方程两边同时点乘速度矢量 $\mathbf{v} = \dot{\mathbf{r}}$：
利用 $\dot{\mathbf{r}} \cdot \ddot{\mathbf{r}} = \frac{d}{dt}(\frac{1}{2}v^2)$ 和 $\dot{\mathbf{r}} \cdot \mathbf{r} = r\dot{r}$，上式可变为：
积分得到比机械能（Specific Mechanical Energy）$\mathcal{E}$ 守恒：
这便是著名的 活力公式 (Vis-Viva Equation)。它表明轨道上任意一点的速度大小仅取决于该点到中心的距离 $r$ 和轨道的总能量。
对于椭圆轨道，$\mathcal{E} = -\frac{\mu}{2a}$，其中 $a$ 为半长轴。代入上式得到工程中最常用的速度公式：
轨道方程与圆锥曲线
为了得到轨道的几何形状，我们需要找到 $r$ 和角度之间的关系。利用矢量恒等式和积分技巧，可以推导出偏心率矢量 (Eccentricity Vector) $\mathbf{e}$ 也是一个守恒量。
我们将二体方程 $\ddot{\mathbf{r}} = -\frac{\mu}{r^3}\mathbf{r}$ 两边叉乘角动量 $\mathbf{h}$：
利用矢量三重积公式 $\mathbf{A} \times (\mathbf{B} \times \mathbf{C}) = (\mathbf{A} \cdot \mathbf{C})\mathbf{B} - (\mathbf{A} \cdot \mathbf{B})\mathbf{C}$，右边变为：
经过复杂的推导（利用 $\mathbf{r} \cdot \mathbf{v} = r\dot{r}$），可以证明：
积分得到常矢量 $\mathbf{C}$，我们定义偏心率矢量 $\mathbf{e} = \mathbf{C}/\mu$：
$\mathbf{e}$ 的方向指向近拱点（Periapsis），模长 $e$ 即为轨道的偏心率。
通过计算 $\mathbf{r} \cdot \mathbf{e}$，我们可以得到极坐标下的轨道方程：
利用 $\mathbf{r} \cdot (\mathbf{v} \times \mathbf{h}) = (\mathbf{r} \times \mathbf{v}) \cdot \mathbf{h} = h^2$，整理得：
其中：
- $p = h^2 / \mu$ 为半通径 (Semi-latus rectum)。
- $e$ 为偏心率。
- $\nu$ 为真近点角 (True Anomaly)，即卫星相对于近拱点的角度。
这个方程清晰地表明，二体运动的轨迹是圆锥曲线 (Conic Section)：
- $e = 0$: 圆 (Circle)
- $0 < e < 1$: 椭圆 (Ellipse)
- $e = 1$: 抛物线 (Parabola)
- $e > 1$: 双曲线 (Hyperbola)
结语
从 $\mathbf{F}=m\mathbf{a}$ 到 $r = \frac{p}{1 + e \cos \nu}$，我们用简洁的数学语言重构了开普勒定律。角动量 $\mathbf{h}$ 决定了轨道面，能量 $\mathcal{E}$ 决定了轨道的大小（$a$），而偏心率矢量 $\mathbf{e}$ 则刻画了轨道的形状和朝向。
在后续的文章中，我们将利用这些守恒量，定义描述三维空间轨道的经典轨道要素（COE），并探讨如何在轨道之间进行机动。