Chapter 4: State-Space Solutions and Realizations
状态空间的求解和实现
4.1 Introduction 简介
线性系统可由卷积和状态空间方程描述（若为集总系统）。
本章目标：研究如何求解这些状态空间表示。
- 数值方法最常见但精度可能不足；
- 对于 LTI 系统，可利用拉氏变换和部分分式展开得到解析解；
- 更好的方式是将传递函数转换为状态方程，再求解状态变量。
4.2 Solution of LTI State Equations
LTI状态方程的求解
考虑：
$$
\dot{x}(t) = Ax(t) + Bu(t) \tag{4.2}
$$
$$
y(t) = Cx(t) + Du(t) \tag{4.3}
$$
其中 $A, B, C, D$ 分别为 $n \times n, n \times p, q \times n, q \times p$ 的常数矩阵。
求解：给定初始状态 $x(0)$ 与输入 $u(t)$。
基于矩阵指数的通解为：
$$
x(t) = e^{At} x(0) + \int_0^t e^{A(t-\tau)} B u(\tau) d\tau \tag{4.5}
$$
可验证满足初始条件：
$$
x(0) = e^{A \cdot 0} x(0) + \int_0^0 \cdots = x(0)
$$
对(4.5)求导得到：
$$
\dot{x}(t) = A e^{At} x(0) + A \int_0^t e^{A(t-\tau)} B u(\tau) d\tau + Bu(t) \tag{4.7}
$$
求解 $e^{At}$ 的方法：
- 使用定理 3.5；
- 利用 $A$ 的 Jordan 形式；
- 幂级数展开：
$$
e^{At} = \sum_{k=0}^\infty \frac{A^k t^k}{k!}
$$ - Leverrier 算法；
- 数值方法（如 MATLAB）
Example 4.1、4.2
- 展示如何计算零输入响应；
- 探讨 $A$ 的特征值对系统响应的影响。
若 $A$ 所有特征值实部为负，$x(t)$ 将趋于零。
若含正实部，$x(t)$ 发散。
若实部为零但代数重数大于1，也可能发散。
4.2.1 Discretization 离散化
最简单方法：
$$
x[k+1] = (I + AT) x[k] + BT u[k]
$$
更精确方法（无近似）：
$$
x[k+1] = \Phi x[k] + \Gamma u[k]
$$
其中：
$$
\Phi = e^{AT},\quad \Gamma = \int_0^T e^{A\tau} B d\tau
$$
4.2.2 Solution of Discrete-Time Equations
离散时间系统解
离散状态方程：
$$
x[k+1] = Ax[k] + Bu[k] \tag{4.19}
$$
$$
y[k] = Cx[k] + Du[k]
$$
递推解形式：
$$
x[k] = A^k x[0] + \sum_{i=0}^{k-1} A^{k-1-i} B u[i] \tag{4.20}
$$
4.3 Equivalent State Equations 等价状态方程
定义：若存在非奇异变换 $P$，使得：
$$
\tilde{x} = P x,\quad \tilde{A} = PAP^{-1},\quad \tilde{B} = PB,\quad \tilde{C} = CP^{-1},\quad \tilde{D} = D
$$
则两系统是代数等价的。
定理 4.1
两组状态方程 ${A,B,C,D}$ 和 ${\tilde{A}, \tilde{B}, \tilde{C}, \tilde{D}}$ 零状态等价（有相同传递矩阵）的充要条件是存在非奇异矩阵 $P$ 使得上述等式成立。
代数等价 $\Rightarrow$ 零状态等价
反之不成立，维度可能不同。
4.3.1 Canonical Forms 标准型
除了友矩阵，还可构造：
- 模态型 Modal Form
- 对角型（若可对角化）
例子见公式 (4.28)
4.3.2 Magnitude Scaling in Op-Amp Circuits 运放电路的量测范围调整
采用状态等价变换 $x = Px’$ 来缩放各状态变量大小。
4.4 Realizations 实现
给定传递函数（矩阵）$G(s)$，求状态空间模型 ${A,B,C,D}$，使得：
$$
G(s) = C(sI - A)^{-1}B + D
$$
称 $G(s)$ 是可实现的。
定理 4.2
传递矩阵 $G(s)$ 可实现 $\Leftrightarrow$ $G(s)$ 是正则有理矩阵。
- 最小公倍分母（Least Common Denominator）用于统一分母；
- 可控标准型（Controllable Canonical Form）常用于实现构造。
4.5 Solution of Linear Time-Varying Equations
线性时变系统求解
时变状态方程：
$$
\dot{x}(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t) \tag{4.45}
$$
状态转移矩阵 $\Phi(t,t_0)$ 定义为：
$$
x(t) = \Phi(t,t_0) x(t_0) + \int_{t_0}^t \Phi(t, \tau) B(\tau) u(\tau) d\tau \tag{4.57}
$$
$\Phi(t,t_0)$ 满足：
- $\Phi(t_0,t_0) = I$
- $\frac{d}{dt} \Phi(t,t_0) = A(t)\Phi(t,t_0)$
- 传递性：$\Phi(t,t_1)\Phi(t_1,t_0) = \Phi(t,t_0)$
4.5.1 Discrete-Time Case 离散时变系统
递推形式：
$$
x[k+1] = A[k] x[k] + B[k] u[k]
$$
$$
x[k] = \Phi[k,0] x[0] + \sum_{i=0}^{k-1} \Phi[k,i+1] B[i] u[i]
$$
4.6 Equivalent Time-Varying Equations 等价时变系统
设变换 $x(t) = P(t)\tilde{x}(t)$，且 $P(t)$ 非奇异，连续。
变换后系统为：
$$
\dot{\tilde{x}} = \left[P^{-1}(t)A(t)P(t) - P^{-1}(t)\dot{P}(t)\right] \tilde{x} + P^{-1}(t)B(t) u
$$
该变换称为等价变换或李亚普诺夫变换（若 $P(t)$ 连续、有界）。
定理 4.4（Floquet 定理）
若 $A(t)$ 周期，系统可李氏等价于一个常系数系统。
4.7 Time-Varying Realizations 时变系统的实现
拉氏变换不可用于时变系统，因此在时域处理。
定理 4.5
一个脉冲响应矩阵 $g(t,\tau)$ 可实现的充要条件是可分解为：
$$
g(t,\tau) = C(t)\Phi(t,\tau)B(\tau)
$$
其中 $\Phi(t,\tau)$ 为状态转移矩阵。