Chapter 8: State Feedback and State Estimators

状态反馈和状态估计器

8.1 Introduction

能控性和能观性的概念在前面两章被用来研究系统的内部结构以及建立内部和外部描述之间的关系。本章我们讨论它们在反馈控制系统设计中的含义。

设备的输入 $u(t)$ 称为驱动信号（激励信号）或者控制信号。
设备的输出 $y(t)$ 称为设备输出或者被控信号。

我们的目标是设计一个系统，使设备的输出尽可能接近参考信号 $r(t)$。

8.2 State Feedback 状态反馈

考虑 $n$ 维单变量状态方程：

$$
\dot{x} = Ax + bu, \quad y = cx
\tag{8.1}
$$

为简化讨论，假设 $d = 0$。

在状态反馈中，输入 $u$ 为：

$$
u = r - \sum_{i=1}^{n} k_i x_i = r - kx
\tag{8.2}
$$

每个反馈增益 $k_i$ 都是实常数。这被称为常数增益负状态反馈，简称状态反馈。

将（8.2）代入（8.1）可得：

$$
\dot{x} = (A - bk)x + br
\tag{8.3}
$$

定理 8.1

对任意实常向量 $k$，$(A - bk, b)$ 能控的充要条件是 $(A, b)$ 能控。
即：状态反馈不改变系统的能控性。

例 8.1

状态反馈可能改变系统的能观性。

例 8.2

状态反馈能改变什么？

定理 8.2

考虑 $n = 4$ 的状态方程（8.1），其特征多项式为：

$$
\Delta(s) = \det(sI - A) = s^4 + a_1 s^3 + a_2 s^2 + a_3 s + a_4
$$

若（8.1）能控，则它可以通过变换：

$$
P = \begin{bmatrix}
b & Ab & A^2b & A^3b
\end{bmatrix}
$$

变换为能控标准型：

$$
A_c = \begin{bmatrix}
0 & 1 & 0 & 0 \
0 & 0 & 1 & 0 \
0 & 0 & 0 & 1 \
-a_4 & -a_3 & -a_2 & -a_1
\end{bmatrix},
\quad
b_c = \begin{bmatrix}
0 \ 0 \ 0 \ 1
\end{bmatrix}
$$

此外，$n = 4$ 情形下，（8.1）的传递函数为：

$$
\frac{y(s)}{u(s)} = c(sI - A)^{-1}b = \frac{\text{numerator}(s)}{\Delta(s)}
$$

定理 8.3

如果（8.1）的 $n$ 维状态方程能控，则通过状态反馈 $u = -kx + r$，其中 $k$ 是 $\mathbb{R}^n$ 的实常向量，若复共轭特征值成对指定，则 $A - bk$ 的特征值可以任意指定。

反馈传递函数

（8.16）和（8.17）的分子是一样的。
也就是说，状态反馈不影响系统传递函数的零点。这实际上是反馈的一个基本性质：

反馈能移动系统的极点，但对零点没有影响。

例 8.3

如何选取一组期望的特征值呢？

依赖于性能指标，比如：

• 上升时间（rise time）
• 过渡时间（settling time）
• 超调量（overshoot）

这些都是在设计中使用的重要指标。

我们可以按图 8.3(a) 所示，把特征值放在期望区域 $C$ 中。

LQR: Linear Quadratic Regulator 线性二次型调节器

现代控制理论中发展最早也最成熟的一种状态空间设计方法。