Chapter 7: Minimal Realizations and Coprime Fractions
最小实现和既约分式
7.1 Introduction 简介
最小维数的实现被称为最小维实现或最小实现。
传递函数分式的互质性在状态空间中起着类似于能控性和能观性的作用。
7.2 Implications of Coprimeness 互质的含义
我们仅考虑严格正则的有理函数。为简化讨论，假设分母阶数为 4 且首一。
考虑传递函数：
$$
\hat{y}(s) = \frac{N(s)}{D(s)} \hat{u}(s)
\tag{7.1}
$$
第四章中我们曾给出能控标准型实现（4.41），但未说明其状态变量。
本章中，我们重新推导（4.41）：
定义变量：
引入新变量 $v(s)$，使得：
$$
\hat{v}(s) = \frac{1}{D(s)} \hat{u}(s)
\tag{7.3}
$$
于是：
$$
\hat{y}(s) = N(s) \hat{v}(s)
\tag{7.4}
$$
定义状态变量为：
$$
x_1 = \hat{v}(s),\quad x_2 = s \hat{v}(s),\quad x_3 = s^2 \hat{v}(s),\quad x_4 = s^3 \hat{v}(s)
\tag{7.5}
$$
则有：
$$
\dot{x}_1 = x_2,\quad \dot{x}_2 = x_3,\quad \dot{x}_3 = x_4
\tag{7.6}
$$
把 (7.5) 代入 (7.3) 得：
$$
s^4 \hat{v}(s) + a_1 s^3 \hat{v}(s) + a_2 s^2 \hat{v}(s) + a_3 s \hat{v}(s) + a_4 \hat{v}(s) = \hat{u}(s)
$$
时域中为：
$$
\dot{x}_4 = -a_4 x_1 - a_3 x_2 - a_2 x_3 - a_1 x_4 + u
\tag{7.7}
$$
(7.5) 代入 (7.4) 得：
$$
y = b_1 x_1 + b_2 x_2 + b_3 x_3 + b_4 x_4
\tag{7.8}
$$
合并（7.6）、（7.7）和（7.8）得：
$$
\begin{aligned}
\dot{x} &= Ax + bu \
y &= cx
\end{aligned}
\tag{7.9}
$$
其中，
$$
A =
\begin{bmatrix}
0 & 1 & 0 & 0 \
0 & 0 & 1 & 0 \
0 & 0 & 0 & 1 \
-a_4 & -a_3 & -a_2 & -a_1
\end{bmatrix},
\quad
b =
\begin{bmatrix}
0 \ 0 \ 0 \ 1
\end{bmatrix},
\quad
c = \begin{bmatrix}
b_1 & b_2 & b_3 & b_4
\end{bmatrix}
$$
该状态方程的能控性矩阵行列式为1，故永远能控。
是否能观取决于 $N(s)$ 与 $D(s)$ 是否互质。
定理 7.1
式（7.9）的能控标准型能观的充分必要条件是：
$$D(s) \text{ 与 } N(s) \text{ 互质，即最大公因式为常数}$$
7.2.1 Minimal Realizations 最小实现
- Polynomial fraction：多项式分式
- Coprime fraction：既约分式（互质分式）
定理 7.2
若 $(A, b, c, d)$ 是 $\frac{N(s)}{D(s)}$ 的一个最小实现的状态方程，
则其充要条件是：
$$(A, b) \text{ 能控且 } (A, c) \text{ 能观}$$
或等价地，系统维度 = $\deg(D(s))$ = $\deg(N(s))$
定理 7.3
所有的最小实现是等价的。
若 $(A, b, c, d)$ 是 $\frac{N(s)}{D(s)}$ 的最小实现，且 $N(s), D(s)$ 互质，则系统的维度等于 $D(s)$ 的阶数。
结论
- 互质分式对应能控能观状态方程。
- 互质性是最小实现的重要判据。
- 能控标准型适用于最小实现构造。