Chapter 6: Controllability and Observability
能控性与能观性
6.1 Introduction
- 能控性：状态能否由输入控制到任意目标状态。
- 能观性：初始状态能否从输出中推断。
6.2 Controllability 能控性
定义 6.1
系统 $(A, B)$ 是能控的，如果对于任意初始状态 $x(0)$ 和目标状态 $x_1$，存在有限时间内的输入 $u(t)$ 使得系统状态从 $x(0)$ 到达 $x_1$。
定理 6.1 等价条件（能控性判据）
以下条件等价：
- $(A, B)$ 能控；
- 能控性矩阵满秩：
$$
\mathcal{C} = \begin{bmatrix}
B & AB & A^2B & \cdots & A^{n-1}B
\end{bmatrix},\quad \text{rank}(\mathcal{C}) = n
$$ - 对任意 $\lambda \in \sigma(A)$，矩阵 $[\lambda I - A, B]$ 行满秩；
- 若 $A$ 稳定，则能控 Gramian：
$$
W_c = \int_0^\infty e^{At}BB^T e^{A^T t} dt
$$
是正定矩阵。
能控性的证明思路：
(2) $\Leftrightarrow$ (3)：若 $W_c$ 非奇异 ⇔ 不存在非零向量 $v$ 满足：
$$
v^T e^{At}B = 0,,\forall t
$$(3) $\Rightarrow$ (2)：假设 $\mathcal{C}$ 非满秩，存在 $v \neq 0$ 使 $v^T A^k B = 0$，与 $W_c$ 非奇异矛盾。
推论 6.1
$(A,B)$ 能控的充要条件是存在整数 $m$ 满足：
$$
\text{rank}([B, AB, …, A^{m-1}B]) = n
$$
能控性指数集 Controllability Indices
设 $B = [b_1, b_2, …, b_p]$，定义：
- 对每个 $b_i$，其生成的线性无关列最多为 $\mu_i$；
- 有 $\sum_{i=1}^p \mu_i = n$；
- ${\mu_1, …, \mu_p}$ 构成能控性指数集。
6.3 Observability 能观性
定义 6.O1
系统 $(A, C)$ 是能观的，如果对任意 $x(0)$ 存在有限时间 $t$，从输入 $u$ 与输出 $y$ 可唯一确定 $x(0)$。
定理 6.4（Gramian 判据）
系统是能观的 ⇔ 能观 Gramian 满秩：
$$
W_o = \int_0^t e^{A^T \tau} C^T C e^{A \tau} d\tau
$$
对偶定理（定理 6.5）
$(A, B)$ 能控 ⇔ $(A^T, C^T)$ 能观。
能观性指数集 Observability Indices
通过对输出连续求导：
$$
\begin{aligned}
y(0) &= Cx(0) \
\dot{y}(0) &= CAx(0) \
\cdots \
y^{(n-1)}(0) &= CA^{n-1}x(0)
\end{aligned}
$$
若这些方程唯一确定 $x(0)$，则系统能观。
6.4 Canonical Decomposition 标准型分解
定理 6.6
任意状态方程可通过等价变换：
$$
x = P z
$$
转化为：
$$
\begin{bmatrix}
\dot{z}1 \ \dot{z}2
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
A{11} & 0 \
A{21} & A_{22}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
z_1 \ z_2
\end{bmatrix}
+
\begin{bmatrix}
B_1 \ B_2
\end{bmatrix} u
$$
其中 $z_1$ 是能控子系统。
定理 6.7
状态空间描述中的传递矩阵仅反映了“既能控又能观”的子系统部分。
6.5 Jordan Form 条件
设 $A$ 的 Jordan 分解为 $J = \text{diag}(J_1, …, J_k)$，则系统 $(J, B, C)$：
- 能控 ⇔ 与每个 Jordan 块最后一行对应的 $B$ 行向量线性无关；
- 能观 ⇔ 与每个 Jordan 块第一列对应的 $C$ 列向量线性无关。
6.6 Discrete-Time State Equations 离散时间系统
离散时间系统判据与连续时间情形一致。
6.8 LTV State Equations 时变系统
LTV 系统的能控性 Gramian：
$$
W_c(t) = \int_0^t \Phi(t, \tau) B(\tau) B^T(\tau) \Phi^T(t, \tau) d\tau
$$
只要 $W_c$ 非奇异，则系统在 $[0,t]$ 上能控。