引言
在航天器姿态控制中，我们通常区分“主动控制”和“被动稳定”。主动控制依赖于推力器、飞轮等执行机构，需要消耗电能或燃料。而被动稳定则是利用环境力矩（如重力梯度、气动力、磁力矩）或自身的动力学特性（如自旋）来维持姿态的稳定，无需复杂的控制回路和能量消耗。
对于长寿命、低成本的微纳卫星或通信卫星，被动稳定技术具有极大的吸引力。本章将重点介绍四种主要的被动稳定技术：重力梯度稳定、自旋稳定、磁稳定和气动稳定。
1. 重力梯度稳定 (Gravity Gradient Stabilization)
地球引力场并非均匀的，距离地心越近，引力越大。对于一个具有一定尺寸的刚体航天器，其不同部位受到的引力大小和方向略有不同，这种差异会产生一个净力矩，称为重力梯度力矩。
1.1 力矩推导
假设航天器是一个刚体，质心为 $C$，距离地心距离为 $R_c$。刚体上任意一点 $dm$ 相对于质心的位置为 $\boldsymbol{\rho}$。 该点受到的引力为：
其中 $\mathbf{R} = \mathbf{R}_c + \boldsymbol{\rho}$。
将 $R^{-3}$ 在质心处展开（假设 $\rho \ll R_c$），并积分求合力矩 $\mathbf{M}_{gg} = \int \boldsymbol{\rho} \times d\mathbf{F}$，经过略显繁琐的推导，可以得到重力梯度力矩的近似公式（在随体坐标系下）：
其中：
- $\mu$ 是地球引力常数。
- $\mathbf{J}$ 是航天器的惯性张量。
- $\mathbf{c}_3$ 是指向地心（Nadir）的单位矢量在随体坐标系中的分量。
1.2 物理直观
公式表明，重力梯度力矩倾向于使航天器的最小转动惯量轴（细长轴）指向地心。 想象一个哑铃，当它水平放置时，两端受到的引力虽然大小几乎相等，但方向都指向地心，产生一个微小的挤压力。当它倾斜时，下端受到的引力比上端大，产生一个回复力矩，试图将哑铃拉回到竖直方向（长轴指向地心）。
1.3 稳定性条件
对于一个在圆形轨道上运行的对地定向卫星，假设其主轴与轨道坐标系（LVLH）重合。利用线性化欧拉方程分析稳定性，可以得到著名的稳定性区域图。
令 $k_1 = \frac{J_2 - J_3}{J_1}$，$k_3 = \frac{J_2 - J_1}{J_3}$。 稳定性条件为：
拉格朗日区域 (Lagrange Region): $J_2 > J_1 > J_3$。即：
- $J_2$（Pitch轴，轨道法线方向）最大。
- $J_1$（Roll轴，速度方向）次之。
- $J_3$（Yaw轴，地心方向）最小。 这与物理直观一致：细长轴指向地心，最“扁”的轴垂直于轨道面。
DeBra-Delp 区域: 这是一个非直观的稳定区域，即使 $J_1 > J_2$，只要满足某些特定条件，系统也是稳定的。这通常用于某些特殊的卫星构型。
2. 自旋稳定 (Spin Stabilization)
自旋稳定利用了陀螺仪的定轴性（Gyroscopic Stiffness）。一个高速旋转的物体，其角动量矢量 $\mathbf{H}$ 具有抵抗外界干扰力矩的能力，倾向于保持在惯性空间中的指向不变。
2.1 简单的自旋稳定
早期的卫星（如Intelsat I）大多采用简单的自旋稳定。整个卫星作为一个刚体绕主轴高速旋转。 根据我们在Vol.6中讨论的能量汇原理，为了保证长期稳定性，卫星必须绕最大转动惯量轴自旋。这意味着卫星必须设计成扁平的圆盘状。
2.2 双自旋稳定 (Dual-Spin Stabilization)
为了克服单自旋卫星必须是“扁平”的限制，以及为了方便安装对地定向的天线和相机，工程师们发明了双自旋（Dual-Spin）或偏置动量（Bias Momentum）卫星。
这种卫星分为两部分：
- 转子 (Rotor): 高速旋转的部分，提供巨大的角动量（陀螺刚度）。
- 平台 (Platform): 消旋（Despun）部分，保持对地定向，安装载荷。
稳定性分析： 对于双自旋卫星，能量汇分析变得更加微妙。如果转子上的能量耗散占主导，系统倾向于绕最大惯量轴旋转。但如果平台上的能量耗散占主导（通常通过安装章动阻尼器来实现），则可以证明，只要转子的角动量足够大，即使整个卫星是细长的（绕最小惯量轴旋转），系统也是渐近稳定的！
这一突破性的结论（Iorillo’s Theorem）使得现代通信卫星（如Intelsat IV）可以设计成细长的圆柱体，极大地优化了运载火箭的整流罩空间利用率。
3. 磁稳定 (Magnetic Stabilization)
对于低轨（LEO）卫星，地磁场足够强，可以利用磁力矩进行姿态控制。
3.1 被动磁稳定
在卫星上安装一块强永磁体，卫星就会像指南针一样，始终指向当地的地磁场方向。这种方法极其简单，但只能保证卫星的一轴指向磁力线，无法实现三轴稳定，且指向精度随纬度变化。
3.2 B-dot 速率阻尼
更常见的应用是利用磁力矩器（Magnetorquer）进行速率阻尼（Detumbling）。 控制律非常简单：
其中 $\mathbf{m}$ 是产生的磁矩，$\dot{\mathbf{B}}$ 是磁场矢量的变化率（由磁强计测量）。 原理：变化的磁场会在闭合回路中产生感应电流，消耗能量。通过模拟这一过程，我们可以耗散掉卫星的初始角动量，使其停止翻滚。这是几乎所有低轨卫星入轨后的第一步操作。
4. 气动稳定 (Aerodynamic Stabilization)
在极低轨道（VLEO, < 300km），稀薄大气产生的气动力矩变得不可忽视。 类似于羽毛球，如果将卫星的质心（Center of Mass, CM）设计在压心（Center of Pressure, CP）的前方，气动阻力就会产生一个恢复力矩，使卫星始终“迎风”飞行。 这种方法常用于像 GOCE 这样的超低轨重力探测卫星。
总结
- 重力梯度稳定：利用地球引力差，无需能源，精度较低（几度），适用于低轨微纳卫星。要求 $J_{pitch} > J_{roll} > J_{yaw}$。
- 自旋稳定：利用角动量定轴性，抗干扰能力强。单自旋要求绕最大惯量轴旋转。
- 双自旋稳定：结合了自旋稳定的刚度和对地定向的便利性，通过合理的阻尼设计，突破了最大惯量轴原则的限制。
- 磁稳定/气动稳定：利用环境场进行辅助稳定或阻尼。
下一章，我们将进入主动控制领域，探讨如何利用反馈控制律（PID、LQR）来精确控制航天器的姿态。