姿态动力学Vol.5-刚体动力学方程：欧拉方程与惯性张量

引言

在前面的章节中，我们花费了大量的篇幅讨论姿态运动学 (Kinematics)，即如何描述物体的方向（欧拉角、四元数、MRPs）以及它们随时间的变化率。从本章开始，我们将进入姿态动力学 (Dynamics) 的核心领域，探讨是什么导致了姿态的变化——即力矩与角动量之间的关系。

这一章的基石是牛顿第二定律的旋转形式，最终导出的欧拉动力学方程 (Euler’s Equations of Motion) 是所有航天器姿态控制系统的物理基础。

1. 角动量与惯性张量

1.1 质点系的角动量

对于一个由 $N$ 个质点组成的刚体，其相对于质心 $O$ 的总角动量 $athbf{H}$ 定义为：

$\mathbf{H} = \sum_{i=1}^{N} \mathbf{r}_i \times (m_i \mathbf{v}_i)$

由于刚体上任意一点的速度 $\mathbf{v}_i = \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}_i$，代入上式：

$\mathbf{H} = \sum_{i=1}^{N} m_i \mathbf{r}_i \times (\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}_i)$

利用矢量三重积公式 $\mathbf{a} \times (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) = (\mathbf{a} \cdot \mathbf{c})\mathbf{b} - (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})\mathbf{c}$，可得：

$\mathbf{H} = \sum_{i=1}^{N} m_i [ (\mathbf{r}_i \cdot \mathbf{r}_i)\boldsymbol{\omega} - (\mathbf{r}_i \cdot \boldsymbol{\omega})\mathbf{r}_i ]$

1.2 惯性张量 (Inertia Tensor) 的引入

将上述矢量方程写成矩阵形式，可以提取出惯性张量 $\mathbf{J}$：

$\mathbf{H} = \mathbf{J} \boldsymbol{\omega}$

其中 $\mathbf{J}$ 是一个 $3 \times 3$ 的对称矩阵：

$\mathbf{J} = \begin{bmatrix} J_{xx} & -J_{xy} & -J_{xz} \\ -J_{yx} & J_{yy} & -J_{yz} \\ -J_{zx} & -J_{zy} & J_{zz} \end{bmatrix}$

其元素定义为（积分形式）：

转动惯量 (Moments of Inertia)： $J_{xx} = \int (y^2 + z^2) dm, \quad J_{yy} = \int (x^2 + z^2) dm, \quad J_{zz} = \int (x^2 + y^2) dm$
惯性积 (Products of Inertia)： $J_{xy} = J_{yx} = \int xy \, dm, \quad J_{xz} = J_{zx} = \int xz \, dm, \quad J_{yz} = J_{zy} = \int yz \, dm$

1.3 主轴坐标系 (Principal Axes)

由于 $\mathbf{J}$ 是实对称矩阵，必然存在一个正交坐标系，使得 $\mathbf{J}$ 对角化。这个坐标系称为主轴坐标系。在主轴系下，惯性积为零：

$\mathbf{J} = \text{diag}(J_1, J_2, J_3)$

这极大地简化了动力学方程。

2. 欧拉动力学方程 (Euler’s Equations)

2.1 矢量推导

根据角动量定理，力矩 $\mathbf{M}$ 等于角动量的时间变化率。但在应用牛顿定律时，必须相对于惯性系求导：

$\mathbf{M} = \left( \frac{d\mathbf{H}}{dt} \right)_I$

利用传输定理 (Transport Theorem)，将导数转换到随体坐标系 $B$：

$\mathbf{M} = \left( \frac{d\mathbf{H}}{dt} \right)_B + \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{H}$

由于在随体坐标系中，刚体的质量分布不变，故 $\dot{\mathbf{J}} = 0$，因此 $(\dot{\mathbf{H}})_B = \mathbf{J}\dot{\boldsymbol{\omega}}$。代入后得到刚体动力学的矢量方程：

$\mathbf{M} = \mathbf{J}\dot{\boldsymbol{\omega}} + \boldsymbol{\omega} \times (\mathbf{J}\boldsymbol{\omega})$

2.2 标量形式（主轴系下）

在主轴坐标系下展开上述矢量方程，得到著名的欧拉方程标量形式：

$\begin{cases} M_1 = J_1 \dot{\omega}_1 + (J_3 - J_2) \omega_2 \omega_3 \\ M_2 = J_2 \dot{\omega}_2 + (J_1 - J_3) \omega_1 \omega_3 \\ M_3 = J_3 \dot{\omega}_3 + (J_2 - J_1) \omega_1 \omega_2 \end{cases}$

这组非线性耦合微分方程揭示了刚体转动的复杂性：即使没有外力矩 ($M=0$)，三个轴的角速度也会相互耦合，导致复杂的进动和章动。

3. 无力矩运动分析 (Torque-free Motion)

当外力矩 $\mathbf{M} = \mathbf{0}$ 时，刚体的运动称为无力矩运动。这是航天器在巡航阶段的典型状态。

3.1 轴对称刚体 ($J_1 = J_2 \neq J_3$)

假设刚体是轴对称的（如圆柱体卫星），且 $J_1 = J_2 = J_t$（横向转动惯量），$J_3 = J_a$（轴向转动惯量）。欧拉方程简化为：

$\begin{cases} J_t \dot{\omega}_1 = (J_t - J_a) \omega_2 \omega_3 \\ J_t \dot{\omega}_2 = -(J_t - J_a) \omega_1 \omega_3 \\ J_a \dot{\omega}_3 = 0 \end{cases}$

从第三个方程可知，$\dot{\omega}_3 = 0 \Rightarrow \omega_3 = \text{const}$。自旋角速度保持恒定。前两个方程构成一个线性谐振子系统，解得：

$\omega_1(t) = \omega_{\perp} \cos(\lambda t + \phi_0)$ $\omega_2(t) = \omega_{\perp} \sin(\lambda t + \phi_0)$

其中 $\lambda$ 是相对进动率：

$\lambda = \frac{J_t - J_a}{J_t} \omega_3$

3.2 几何解释：体锥与空锥

角速度矢量 $\boldsymbol{\omega}$ 在本体坐标系中绕着对称轴 $b_3$ 旋转，轨迹是一个圆锥，称为体锥 (Body Cone)。
在惯性空间中，$\boldsymbol{\omega}$ 绕着恒定的角动量矢量 $\mathbf{H}$ 旋转，轨迹称为空锥 (Space Cone)。
刚体的运动可以形象地描述为：体锥在空锥上无滑滚动。

4. 极迹与赫尔极迹 (Polhode & Herpolhode)

为了更直观地理解一般非对称刚体 ($J_1 \neq J_2 \neq J_3$) 的运动，Poinsot 提出了几何构造法。

4.1 能量椭球与角动量球

无力矩运动有两个守恒量：

动能 $T$：$2T = \boldsymbol{\omega}^T \mathbf{J} \boldsymbol{\omega} = J_1 \omega_1^2 + J_2 \omega_2^2 + J_3 \omega_3^2 = \text{const}$
角动量模长 $H$：$H^2 = (J_1 \omega_1)^2 + (J_2 \omega_2)^2 + (J_3 \omega_3)^2 = \text{const}$

在 $\omega_1-\omega_2-\omega_3$ 空间中：

动能方程定义了一个椭球 (Kinetic Energy Ellipsoid)。
角动量方程定义了一个椭球 (Momentum Ellipsoid)（注意这里是关于 $\omega$ 的椭球）。

刚体的瞬时角速度 $\boldsymbol{\omega}(t)$ 必须同时位于这两个椭球的表面上。因此，$\boldsymbol{\omega}$ 的轨迹就是这两个椭球的交线。这条交线在本体坐标系中的轨迹称为极迹 (Polhode)。

4.2 极迹的拓扑结构

极迹的形状揭示了刚体运动的稳定性：

围绕最大惯量轴 ($J_{max}$) 和最小惯量轴 ($J_{min}$) 的极迹是闭合的小圈，表明运动是稳定的。
围绕中间惯量轴 ($J_{int}$) 的极迹是发散的双曲线形状，且存在分界线（Separatrix），表明运动是不稳定的。

这一结论就是著名的中间轴定理 (Intermediate Axis Theorem)，我们将在下一章详细讨论其稳定性证明。

结语

欧拉方程是刚体动力学的灵魂。它告诉我们，转动惯量的分布决定了刚体旋转的特性。对于航天器而言，了解其惯性张量是进行姿态控制设计的第一步。

下一章，我们将深入探讨刚体旋转的稳定性问题，解释为什么大多数卫星都设计成绕最大惯量轴旋转，以及著名的“网球拍定理”背后的数学原理.

引言

在前面的章节中，我们详细讨论了姿态运动学，即如何描述和计算刚体的方向（DCM、欧拉角、四元数、CRPs/MRPs）。然而，要控制航天器的姿态，我们必须理解导致姿态发生变化的物理原因——力矩。本章将从牛顿第二定律的旋转形式出发，推导描述刚体转动动力学的核心方程——欧拉方程（Euler’s Equations），并深入探讨惯性张量的物理意义与数学性质。

刚体的角动量

对于一个由 $N$ 个质点组成的质点系，或者连续质量分布的刚体，其相对于参考点 $O$ 的角动量 $\mathbf{H}_O$ 定义为：

$\mathbf{H}_O = \int_{\mathcal{B}} \mathbf{r} \times \mathbf{v} \, dm$

其中 $\mathbf{r}$ 是质点相对于 $O$ 的位置矢量，$\mathbf{v} = \dot{\mathbf{r}}$ 是惯性速度。

如果我们将参考点 $O$ 选在刚体的质心 $C$，并且引入随体坐标系 $\mathcal{B}$，刚体上任意一点的速度可以表示为：

$\mathbf{v} = \mathbf{v}_C + \boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{\rho}$

其中 $\mathbf{v}_C$ 是质心速度，$\boldsymbol{\omega}$ 是刚体的角速度，$\boldsymbol{\rho}$ 是质点相对于质心的位置矢量。

对于刚体绕质心的转动，其相对于质心的角动量 $\mathbf{H}_C$ 可以简化为：

$\mathbf{H}_C = \int_{\mathcal{B}} \boldsymbol{\rho} \times (\boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{\rho}) \, dm$

利用向量三重积公式 $\mathbf{a} \times (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) = (\mathbf{a} \cdot \mathbf{c})\mathbf{b} - (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})\mathbf{c}$，我们有：

$\boldsymbol{\rho} \times (\boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{\rho}) = (\boldsymbol{\rho} \cdot \boldsymbol{\rho})\boldsymbol{\omega} - (\boldsymbol{\rho} \cdot \boldsymbol{\omega})\boldsymbol{\rho} = \rho^2 \boldsymbol{\omega} - (\boldsymbol{\rho}\boldsymbol{\rho}^T)\boldsymbol{\omega}$

因此，角动量可以写成线性形式：

$\mathbf{H}_C = \left[ \int_{\mathcal{B}} \left( \rho^2 \mathbf{I} - \boldsymbol{\rho}\boldsymbol{\rho}^T \right) dm \right] \boldsymbol{\omega}$

括号中的积分项即为刚体的惯性张量（Inertia Tensor），记为 $\mathbf{J}$。于是我们得到刚体角动量的简洁表达：

$\mathbf{H} = \mathbf{J} \boldsymbol{\omega}$

惯性张量 $\mathbf{J}$

惯性张量是一个 $3 \times 3$ 的对称矩阵，描述了刚体质量分布对转动的阻碍特性。

$\mathbf{J} = \begin{bmatrix} J_{xx} & -J_{xy} & -J_{xz} \\ -J_{yx} & J_{yy} & -J_{yz} \\ -J_{zx} & -J_{zy} & J_{zz} \end{bmatrix}$

其中对角线元素称为转动惯量（Moments of Inertia）：

$J_{xx} = \int (y^2 + z^2) dm, \quad J_{yy} = \int (x^2 + z^2) dm, \quad J_{zz} = \int (x^2 + y^2) dm$

非对角线元素称为惯性积（Products of Inertia）：

$J_{xy} = J_{yx} = \int xy \, dm, \quad J_{xz} = J_{zx} = \int xz \, dm, \quad J_{yz} = J_{zy} = \int yz \, dm$

主轴坐标系

由于 $\mathbf{J}$ 是实对称矩阵，根据线性代数理论，必然存在一个正交坐标系，使得 $\mathbf{J}$ 在该坐标系下为对角矩阵。这个坐标系的轴称为刚体的主轴（Principal Axes），对应的对角元素称为主转动惯量（Principal Moments of Inertia）。

在主轴坐标系下，惯性张量简化为：

$\mathbf{J} = \text{diag}(J_1, J_2, J_3)$

此时，角动量 $\mathbf{H}$ 与角速度 $\boldsymbol{\omega}$ 的关系变得非常简单：

$H_1 = J_1 \omega_1, \quad H_2 = J_2 \omega_2, \quad H_3 = J_3 \omega_3$

欧拉动力学方程

根据角动量定理，作用在刚体上的合外力矩 $\mathbf{M}$ 等于角动量的时间变化率。需要注意的是，这个导数必须在惯性系 $\mathcal{N}$ 中求取。

$\mathbf{M} = \left( \frac{d\mathbf{H}}{dt} \right)_{\mathcal{N}}$

利用传输定理（Transport Theorem），我们可以将惯性系下的导数转换为随体坐标系 $\mathcal{B}$ 下的导数：

$\left( \frac{d\mathbf{H}}{dt} \right)_{\mathcal{N}} = \left( \frac{d\mathbf{H}}{dt} \right)_{\mathcal{B}} + \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{H}$

由于在随体坐标系中，刚体的质量分布不变，因此惯性张量 $\mathbf{J}$ 是常数矩阵（假设刚体没有变形或燃料消耗）。所以：

$\left( \frac{d\mathbf{H}}{dt} \right)_{\mathcal{B}} = \mathbf{J} \dot{\boldsymbol{\omega}}$

代入角动量定理，得到刚体姿态动力学的矢量形式方程：

$\mathbf{J} \dot{\boldsymbol{\omega}} + \boldsymbol{\omega} \times (\mathbf{J} \boldsymbol{\omega}) = \mathbf{M}$

这就是著名的欧拉动力学方程（Euler’s Equations of Motion）。

标量形式（主轴坐标系）

如果我们将方程投影到刚体的主轴坐标系上，由于 $J_{xy}=J_{yz}=J_{zx}=0$，方程组解耦为三个标量方程：

$\begin{cases} J_1 \dot{\omega}_1 + (J_3 - J_2) \omega_2 \omega_3 = M_1 \\ J_2 \dot{\omega}_2 + (J_1 - J_3) \omega_3 \omega_1 = M_2 \\ J_3 \dot{\omega}_3 + (J_2 - J_1) \omega_1 \omega_2 = M_3 \end{cases}$

这组非线性微分方程是分析航天器姿态运动的基础。

无力矩运动 (Torque-Free Motion)

当外力矩 $\mathbf{M} = \mathbf{0}$ 时，刚体处于无力矩运动状态。这是航天器在巡航阶段的常见状态。

轴对称刚体

假设刚体是轴对称的，例如 $J_1 = J_2 = J_t$（横向转动惯量），$J_3 = J_a$（轴向转动惯量）。欧拉方程简化为：

$\begin{cases} J_t \dot{\omega}_1 + (J_a - J_t) \omega_2 \omega_3 = 0 \\ J_t \dot{\omega}_2 - (J_a - J_t) \omega_3 \omega_1 = 0 \\ J_a \dot{\omega}_3 = 0 \end{cases}$

从第三个方程可知，$\dot{\omega}_3 = 0$，即自旋角速度 $\omega_3$ 保持恒定。定义相对章动率 $\lambda = \frac{J_a - J_t}{J_t} \omega_3$，前两个方程变为：

$\dot{\omega}_1 + \lambda \omega_2 = 0$ $\dot{\omega}_2 - \lambda \omega_1 = 0$

这是一个耦合的线性谐振子系统，其解为：

$\omega_1(t) = \omega_{\perp} \cos(\lambda t + \phi_0)$ $\omega_2(t) = \omega_{\perp} \sin(\lambda t + \phi_0)$

这表明，角速度矢量 $\boldsymbol{\omega}$ 在随体坐标系中绕着对称轴（$z$轴）进动，轨迹是一个圆锥面，称为随体极锥（Body Cone）。

能量与角动量守恒

在无力矩运动中，系统存在两个守恒量：

动能 $T = \frac{1}{2} \boldsymbol{\omega}^T \mathbf{J} \boldsymbol{\omega} = \text{const}$
角动量模长 $H^2 = \mathbf{H}^T \mathbf{H} = \boldsymbol{\omega}^T \mathbf{J}^2 \boldsymbol{\omega} = \text{const}$

这两个守恒量定义了角速度空间中的两个椭球体：动能椭球和角动量椭球。刚体的瞬时角速度矢量 $\boldsymbol{\omega}$ 必须同时位于这两个椭球面上，即它们的交线上。这一几何解释（Poinsot构造）直观地描述了刚体的自由旋转运动。

总结

欧拉方程建立了力矩与角速度变化率之间的关系，是姿态动力学的核心。结合前面章节的运动学方程（如四元数微分方程 $\dot{\mathbf{q}} = \frac{1}{2} \mathbf{q} \otimes \boldsymbol{\omega}$），我们就可以构建完整的航天器姿态仿真模型：

动力学回路：输入力矩 $\mathbf{M}$ $\to$ 欧拉方程 $\to$ 角加速度 $\dot{\boldsymbol{\omega}}$ $\to$ 积分得到 $\boldsymbol{\omega}$。
运动学回路：输入角速度 $\boldsymbol{\omega}$ $\to$ 运动学方程 $\to$ 姿态参数导数 $\dot{\mathbf{q}}$ $\to$ 积分得到姿态 $\mathbf{q}$。

下一章，我们将利用欧拉方程来分析刚体绕主轴旋转的稳定性，探讨为什么大多数卫星倾向于绕最大转动惯量轴旋转。

updated at 2025-11-21

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