色彩科学Vol.3 格拉斯曼定律与色彩空间代数

前言：色彩的代数结构

在《色彩科学Vol.2 人眼视觉系统与颜色匹配实验》中，我们通过颜色匹配实验得到了 RGB 三刺激值。实验结果暗示了一个极其重要的性质：色彩的混合遵循线性叠加原理。

这意味着，我们可以借用强大的线性代数工具来研究色彩。色彩空间本质上是一个三维向量空间，而色彩的变换（如从 RGB 转到 XYZ，或从 sRGB 转到 CMYK）本质上是基底变换。

本章将详细阐述 Hermann Grassmann 于 1853 年提出的格拉斯曼定律，它是现代比色法的数学公理体系。

格拉斯曼定律

格拉斯曼定律总结了人眼对色彩混合的经验规律，将其提升为数学公理。

第一定律：三变量性

任何颜色都可以由三个线性无关的基色（Primaries）混合而成。这意味着色彩空间是三维的。若选定红($R$)、绿($G$)、蓝($B$)为基色，则任意颜色 $C$ 可表示为：

$C \equiv R[R] + G[G] + B[B]$

其中 $(R, G, B)$ 为三刺激值。

第二定律：连续性

如果混合光的光谱成分发生连续变化，则其引起的颜色感觉也发生连续变化。这意味着色彩空间中不存在“突变”，色彩函数是连续且可微的。

第三定律：加法原理

这是格拉斯曼定律的核心，也是色彩空间线性性质的来源。若颜色 $C_1$ 匹配 $C_2$，颜色 $C_3$ 匹配 $C_4$，则它们的混合色也必然匹配：

$\text{If } C_1 \equiv C_2 \text{ and } C_3 \equiv C_4, \text{ then } C_1 + C_3 \equiv C_2 + C_4$

这表明，光度学上的加法对应于代数上的向量加法。

第四定律：比例性

若颜色 $C_1$ 匹配 $C_2$，则增强或减弱相同倍数 $k$ 后，它们依然匹配：

$\text{If } C_1 \equiv C_2, \text{ then } k C_1 \equiv k C_2$

这意味着亮度的改变不会影响色度匹配关系（在明视觉范围内）。

色彩空间的向量表示

基于格拉斯曼定律，我们可以将色彩视为三维向量空间 $\mathbb{V}^3$ 中的向量。

向量定义

设 $[R], [G], [B]$ 为一组基底向量，则任意颜色向量 $\mathbf{C}$ 可表示为：

$\mathbf{C} = \begin{bmatrix} R \\ G \\ B \end{bmatrix}$

色度坐标

为了分离“亮度”与“颜色（色相+饱和度）”，我们引入归一化的色度坐标。定义：

$r = \frac{R}{R+G+B}, \quad g = \frac{G}{R+G+B}, \quad b = \frac{B}{R+G+B}$

显然有 $r+g+b=1$。这三个量 $(r, g, b)$ 描述了颜色的色度。在几何上，这对应于将三维色彩向量投影到 $R+G+B=1$ 的平面（单位平面或麦克斯韦三角形）上。

由于 $b = 1 - r - g$，我们通常只需要用二维坐标 $(r, g)$ 即可在平面上描述色度。这就是色度图的由来。

色彩空间的基底变换

在色彩科学中，我们经常需要在不同的色彩空间之间转换（例如从 CIE RGB 转换到 CIE XYZ）。这在数学上等价于基底变换。

假设我们有两组基色系统：

旧基底：$\{[R], [G], [B]\}$
新基底：$\{[X], [Y], [Z]\}$

如果新基底中的每个基色都可以由旧基底线性表示：

$\begin{cases} [X] = m_{11}[R] + m_{21}[G] + m_{31}[B] \\ [Y] = m_{12}[R] + m_{22}[G] + m_{32}[B] \\ [Z] = m_{13}[R] + m_{23}[G] + m_{33}[B] \end{cases}$

那么，对于同一个颜色 $\mathbf{C}$，其在旧基底下的坐标 $(R, G, B)$ 与新基底下的坐标 $(X, Y, Z)$ 存在如下线性变换关系：

$\begin{bmatrix} R \\ G \\ B \end{bmatrix} = \mathbf{M} \begin{bmatrix} X \\ Y \\ Z \end{bmatrix}$

或者反过来：

$\begin{bmatrix} X \\ Y \\ Z \end{bmatrix} = \mathbf{M}^{-1} \begin{bmatrix} R \\ G \\ B \end{bmatrix}$

其中变换矩阵 $\mathbf{M}$ 由新基底在旧基底下的坐标构成。

为什么需要变换？

CIE 1931 RGB 系统虽然物理意义明确，但存在负值（$\bar{r}(\lambda) < 0$）。负值在工程计算和硬件实现中非常麻烦。利用格拉斯曼定律提供的线性变换工具，我们可以设计一套虚拟的基色系统（如 XYZ），使得：

所有的颜色匹配函数 $\bar{x}, \bar{y}, \bar{z}$ 均为正值。
其中一个分量（如 $Y$）直接代表亮度（Luminance）。

这就是下一章 CIE 1931 XYZ 色彩空间的设计初衷。

总结与展望

格拉斯曼定律确立了色彩混合的线性代数本质，使得我们可以用矩阵运算来处理色彩转换。它是所有现代色彩管理系统（CMS）的数学内核。

如何找到那个完美的变换矩阵 $\mathbf{M}$？
如何设计一个全正值的 XYZ 空间？
$Y$ 值是如何被设计成与亮度 $V(\lambda)$ 完全一致的？

在下一章《色彩科学Vol.4 CIE1931-RGB与XYZ色彩空间》中，我们将详细推导色彩科学中最著名的 CIE XYZ 系统，揭开它神秘的面纱。

Reference

Grassmann, H. (1853). Zur Theorie der Farbenmischung. Poggendorff’s Annalen der Physik und Chemie.
Wyszecki, G., & Stiles, W. S. Color Science: Concepts and Methods. Wiley.
Sharma, G. Digital Color Imaging Handbook. CRC Press.

updated at 2025-11-21

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