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前言
辐射度量学和光度学为颜色的定量描述奠定了理论框架，本篇文章将围绕Trichromacy理论、色光混合实验和Grassmann’s law对色度学做进一步深入的讨论，进而阐述色彩空间的数学结构
Trichromatic Theory 与颜色匹配实验
学过大雾后我们会知道，颜色并不是物体本身所具备的固有属性，而是光线在特定波长下的反射或发射所引起的视觉反应。这种视觉反应通过眼睛中的视锥细胞( cone cell )捕捉，并由大脑进行解读，最终呈现为我们所感知到的颜色。
三色刺激值
人类眼睛有对于短（420-440nm）、中（530-540nm）和长（560-580nm）波长的光感受器。根据三种视锥细胞的刺激比例，便能描述任一种颜色的感觉，此称为LMS空间
牛顿色散实验
1666年，英国科学家艾萨克·牛顿通过实验揭示了光的色散现象。在其经典的色散实验中，牛顿将白光通过三棱镜分解为七种颜色（红、橙、黄、绿、蓝、靛、紫）。牛顿进一步实验发现，单一颜色的光无法被再度分解，得出了白光是由多种单色光混合而成的结论。
通过这些实验，牛顿首次证明了白光的复合性，并推测了在可见光谱外的颜色，如品红色和紫红色。
Trichromatic Theory
在牛顿色散实验的基础上，法国物理学家Mariotte提出了Trichromatic Theory ，认为只需要三种基本色光即可混合产生所有颜色。这个理论经过Thomas Young和Hermann von Helmholtz的进一步完善，最终形成了Young–Helmholtz theory。
该理论提出，人眼的视网膜上存在三种不同类型的感光细胞，分别对红、绿、蓝光最为敏感。
基于这一生理学发现，科学家们通过实验验证了人眼对于颜色的感知依赖于三种光的混合。这三种光被称为三基色，分别为红（R）、绿（G）和蓝（B）。
在现代的生理学中，这三种色光的感知分别对应于L-视锥细胞、M-视锥细胞和S-视锥细胞。
颜色匹配实验与颜色匹配函数
基于Trichromatic Theory ，科学家进一步发展了颜色匹配实验，以验证通过三基色混合可以再现所有颜色。在这些实验中，研究人员使用色光匹配的方式，测量并记录了不同颜色下三基色的亮度比值。这些实验结果被表示为颜色匹配函数，它们定义了不同波长光在三基色光源下的组合比例。1931年，CIE（国际照明委员会）通过结合Wright和Guild的实验数据，提出了标准的三基色（红光：700 nm、绿光：546.1 nm、蓝光：435.8 nm）。
下图展示了Wright和Guild的颜色匹配实验数据：
Grassmann’s law
Grassmann’s law是描述色光混合的基本定律之一，它不仅是色度学中的基础理论，也是计算机图形学、色彩管理系统等领域中的核心原理。Grassmann’s law由四个核心命题构成，描述了色光混合过程中的亮度加法和色相、饱和度的恒定性。
色相、饱和度与亮度的数学定义
首先我们明确一下颜色的三要素：色相（hue）、饱和度（saturation）和亮度（luminance）。
- 色相（hue） 表示颜色的基本类型，可以理解为颜色的角度。
- 饱和度（saturation） 表示颜色的纯度，饱和度越高，颜色越纯。
- 亮度（luminance） 表示颜色的亮度强度，即颜色的明暗程度。
设两个色光 ( C_1 ) 和 ( $C_2$ ) 的亮度分别为 ( $L_1 $ ) 和 ( $L_2 $ )，色相为 ( H_1 ) 和 ( H_2 )，饱和度为 ( $S_1 $) 和 ( $S_2$ )。在Grassmann’s law的框架下，混合后的颜色 ( $C_{\text{mix}} $) 的亮度 ( $L_{\text{mix}} $)、色相 ( $H_{\text{mix}}$ ) 和饱和度 ( $S_{\text{mix}}$ ) 满足以下关系：
亮度加法定律：
$$
L_{\text{mix}} = L_1 + L_2
$$色相与饱和度恒定：
$$
H_{\text{mix}} = H_1 = H_2
$$$$
S_{\text{mix}} = S_1 = S_2
$$
这表明，Grassmann’s law假定在混合过程中，色相和饱和度是恒定的，只有亮度发生变化。
亮度加法定律的数学推导
为了从数学上推导亮度加法定律，我们首先假设光的亮度 ($L $) 是光谱功率分布$SPD$
($P(\lambda) $ 与人眼感光曲线 $ \overline{V}(\lambda) $ 的加权积分。假设有两种色光 ($ C_1 $) 和 ($C_2$)，它们的亮度分别为 ($L_1 $) 和 ($L_2 $)，则：
$$
L_1 = \int_{\lambda} P_1(\lambda) \overline{V}(\lambda) , d\lambda
$$
$$
L_2 = \int_{\lambda} P_2(\lambda) \overline{V}(\lambda) , d\lambda
$$
在Grassmann’s law下，混合后的亮度 ( $L_{\text{mix}} $ ) 是两个色光亮度之和：
$$
L_{\text{mix}} = L_1 + L_2 = \int_{\lambda} \left( P_1(\lambda) + P_2(\lambda) \right) \overline{V}(\lambda) , d\lambda
$$
这表明，亮度加法是光谱响应和视觉响应的线性组合。
色光混合的线性加法性质
Grassmann’s law不仅仅描述了亮度的加法，也揭示了颜色混合过程的线性性质。假设有两个色光 ( $C_1 = \left( a_R [\mathrm{R}] + a_G [\mathrm{G}] + a_B [\mathrm{B}] \right) $) 和 ( $C_2 = \left( b_R [\mathrm{R}] + b_G [\mathrm{G}] + b_B [\mathrm{B}] \right) $)，其混合后的结果 ($ C_{\text{mix}} $) 可通过加法得到：
$$
C_{\text{mix}} = C_1 + C_2 = \left( a_R + b_R \right) [\mathrm{R}] + \left( a_G + b_G \right) [\mathrm{G}] + \left( a_B + b_B \right) [\mathrm{B}]
$$
从数学上看，颜色的加法就是三个基色 ( $[\mathrm{R}]$ )、( $[\mathrm{G}] $ )、( $[\mathrm{B}] $) 的线性组合。这种线性加法性质说明了色彩空间的线性结构，且颜色的合成是无穷维空间中的线性变换。
负值和色彩空间的对偶性质
在色光混合实验中，我们会遇到某些情况下基色的系数为负数。这意味着，在某些条件下，参考域中必须“减去”某些色光分量才能匹配目标色光。这种现象对应着色彩空间的对偶性，具体表现为：
$$
C_{\text{ref}} = C_{\text{target}} - \left( a_R [\mathrm{R}] + a_G [\mathrm{G}] + a_B [\mathrm{B}] \right)
$$
这种负值是色光混合实验中的一项数学特征，它表明色光的混合不仅仅是正向合成，还可以通过某些特定方式进行负向补偿。
色彩空间的线性结构
色彩空间是一个描述颜色的多维数学空间，其中每个颜色都可以表示为基色的线性组合。通过线性空间的理论，我们可以对色彩空间进行深入分析，理解其数学结构。
色彩空间的定义与基色
设定色彩空间 ( $\mathscr{C} $) 为三维空间，且其基底由三个基色 ( $[\mathrm{R}]$ )、( $[\mathrm{G}]$ )、( $[\mathrm{B}] $) 构成。任意颜色 ( $C$ ) 都可以表示为这三个基色的线性组合：
$$
C = a_R [\mathrm{R}] + a_G [\mathrm{G}] + a_B [\mathrm{B}]
$$
其中，( $a_R$ )、($ a_G$ )、( $a_B$ ) 是标量，分别表示颜色 ( $C $ ) 在三基色上的分量。这些分量确定了颜色的色相、饱和度和亮度。
色彩空间的线性运算
在色彩空间中，颜色的加法和数乘操作是封闭的，这意味着：
- 加法运算：若 ( $C_1$ ) 和 ( $C_2$ ) 分别表示为：
$$
C_1 = a_R [\mathrm{R}] + a_G [\mathrm{G}] + a_B [\mathrm{B}]
$$
$$
C_2 = b_R [\mathrm{R}] + b_G [\mathrm{G}] + b_B [\mathrm{B}]
$$
则它们的加法结果是：
$$
C_{\text{mix}} = C_1 + C_2 = (a_R + b_R) [\mathrm{R}] + (a_G + b_G) [\mathrm{G}] + (a_B + b_B) [\mathrm{B}]
$$
- 数乘运算：若 ( $C$ ) 表示颜色，且标量 ( $k$ ) 为一个实数，则数乘结果为：
$$
k C = k \cdot \left( a_R [\mathrm{R}] + a_G [\mathrm{G}] + a_B [\mathrm{B}] \right) = (k a_R) [\mathrm{R}] + (k a_G) [\mathrm{G}] + (k a_B) [\mathrm{B}]
$$
色彩空间的亮度与色度分离
在色彩空间中，我们可以将亮度和色度分离。假设亮度 ( $L$ ) 是颜色的加权平均值，而色度 ( $\theta $ ) 表示色光的混合比例。则，色彩空间中的每个点都可以通过亮度和色度来描述：
$$
C = L \cdot \theta
$$
其中，( $L $ ) 为颜色的亮度，( $\theta$ ) 为颜色的色度分量。通过这种方式，色彩空间中的颜色可以被分解为亮度和色度的乘积，从而实现色彩的亮度与色度的独立控制。
Reference
- 三色视者与四色视者身后的理论基础:色彩原理-周陆军的文章 - 知乎
- Wikipedia contributors, “CIE 1931 color space,” Wikipedia, The Free Encyclopedia, https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=CIE_1931_color_space&oldid=1270650643 (accessed January 22, 2025).
- Malacara A D. Color Vision and Colorimetry: Theory and Applications, Second Edition. 2011.
- The Trichromatic Theory Of Color Vision
- Trichromatic Theory of Color Vision | Overview & Definition
- Fairman H S, Brill M H, Hemmendinger H. How the CIE 1931 color‐matching functions were derived from Wright‐Guild data [J]. Color Research & Application, 1997, 22(1):11-23.
- The First Book of Opticks. Part II (1704)
- CIE (1931) color space