色彩科学的数学原理_1.辐射度量学与光度学

前言

为了系统探讨色度学原理，首先需了解“什么是光？”以及“人眼如何对光产生视觉感知？”

有鉴于此，本文从电磁学与光学和视觉生理学的角度出发，对辐射度量学与光度学做简要阐述。这两大学科共同构成了量化光与色觉的基础框架。鉴于色彩理论所涉及之范畴极其广泛，本文仅聚焦辐射度量学和光度学的核心概念，为后续“颜色匹配实验”“三基色理论”“CIE 1931 XYZ 色度图”等内容奠定基础。

本文的前置基知识为：微积分、矩阵理论

辐射度量学（radiometry）主要研究电磁辐射的能量度量与分布规律。电磁辐射涵盖极宽广的波长范围，包括伽马射线、X 射线、紫外光、可见光、红外光、微波与无线电波等。然而，人眼仅能对其中约 390–780 nm 的波段产生视觉感受，故可见光只占整个电磁波谱的极小部分。

光度学（photometry）则侧重研究可见光对人眼视觉系统所带来的主观亮度刺激，因为虽然同为可见光，不同波长对于人眼的刺激也是不同的。

大量实验证明，人眼对 555 $nm$ 单色光（黄绿色）最敏感，若在该波长定义其视觉响应系数为 1，则其他波长光的视见效率可用函数 ($V(\lambda)$)来表征。

在将物理辐射量换算成人眼主观亮度的过程中，视见函数起到了加权的作用，某种意义上，视见函数构建了联结光度学和辐射度量学的桥梁。

为便于后续建模，引入如下概念

**辐射通量($\varPhi_\mathrm{R}$) **
表示单位时间内穿过某截面的电磁辐射能量，单位为瓦（$W$）：
$$
\varPhi_\mathrm{R} = \frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}
$$
其中 ($Q$) 代表辐射能量，($t$)为时间。
辐射强度 ($I$)
对点状辐射源而言，为在给定方向(单位立体角)上的辐射通量密度，单位为 ($\mathrm{W/sr}$)：
$$
I = \frac{\mathrm{d}\varPhi_\mathrm{R}}{\mathrm{d}\varOmega}
$$
辐照度 ($E$)
当研究辐射能量如何“照射”到表面时，就引入辐照度：
$$
E = \frac{\mathrm{d}\varPhi_\mathrm{R}}{\mathrm{d}A}
$$
其单位为 ($\mathrm{W/m^2}$)。
辐亮度 ($L$)
指某表面微元在特定方向的出射辐射强度与其面积正交分量之比：
$$
L = \frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}A^\perp}
= \frac{\mathrm{d}^2\varPhi_\mathrm{R}}{\mathrm{d}\varOmega ,\mathrm{d}A \cos\theta}
$$
在无能量损耗的理想条件下，沿光线传播方向，辐亮度恒定不变。这一性质常用于图形学渲染算法中的光能传递计算。

注：更深层次地，辐射度量学可追溯至麦克斯韦电磁学原理，将电磁场视为矢量场来分析。但在此处，我们采取几何光学近似，侧重能量“射线”形式即可满足后续色彩模型应用。

为便于后续建模，引入如下概念

光通量 ($\varPhi_\mathrm{V}$)
若某光源在波长 ($\lambda$) 上辐射通量分布为 ($\phi_\mathrm{R}(\lambda)$)，则其光度学加权形式：
$$
\phi_\mathrm{V}(\lambda) = \sigma_\mathrm{m} , V(\lambda), \phi_\mathrm{R}(\lambda)
$$
积分得总光通量：
$$
\varPhi_\mathrm{V} =
\int_0^\infty
\sigma_\mathrm{m},V(\lambda),
\phi_\mathrm{R}(\lambda),
\mathrm{d}\lambda
$$
其中 ($\sigma_\mathrm{m}\approx 683,[\mathrm{lm/W}]$)，常称“最大光谱光视效率”系数。
发光强度 ($I_\mathrm{V}$)
对应点光源在单位立体角内的光通量，单位为坎德拉($cd$)。若光源辐射555 nm波长光，功率强度为 ($\tfrac{1}{683},\mathrm{W/sr}$)，则发光强度为 1 $cd$。
光照度 ($E_\mathrm{V}$)
表示照射在单位面积上的光通量，单位勒克斯($lx$)：
$$
E_\mathrm{V} = \frac{\mathrm{d}\varPhi_\mathrm{V}}{\mathrm{d}A}
$$
光亮度 ($L_\mathrm{V}$)
在光度学中，定义与辐亮度平行，只是换成光度学加权：
$$
L_\mathrm{V}
= \frac{\mathrm{d}I_\mathrm{V}}{\mathrm{d}A^\perp}
= \frac{\mathrm{d}^2 \varPhi_\mathrm{V}}{\mathrm{d}\varOmega,\mathrm{d}A \cos\theta}
$$
单位为 $cd/m²$（通常亦称 $nit$）。这在显示器规格中常被提及，例如“500 $nit$”亮度。

颜色的数学理论I——辐射度量学与光度学基础 - 缺心眼的香菜的文章 - 知乎 https://zhuanlan.zhihu.com/p/597710417
Griffiths, David J. Introduction to electrodynamics 3. ed., reprint. with corr. Upper Saddle River, NJ [u.a.]: Prentice-Hall. 1999 [2012-04-06]. ISBN 0-13-805326-X.
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updated at 2025-01-22